… y las matemáticas también

¿Ciencia o Religión?

Como los gatos

¿Qué es un número? Parte II

Terminé  ¿Qué es un número? Parte I en el siglo XVII de la siguiente manera:

Sin equívoco posible podemos decir que la matemática europea vivió hasta el siglo XVII sobre la teoría de las proporciones euclideas. Por lo demás, solo en esta época se adoptaron los números decimales con cifras después de la coma, que pasaron a ser de uso corriente en los cálculos astronómicos. También a principios del XVII se inventaron los logaritmos, lo cual indicaba ya una especie de concepción de un continuo numérico, pero aparecieron por razones prácticas antes de ser aceptados en el plano teórico por Newton y Leibniz quienes al fundar el cálculo diferencial e integral impusieron esta concepción del continuo numérico analizado por medio de números. Las razones que Euclides consideraba entre magnitudes geométricas se habían convertido por último en números.

Pese a todo esto, ni tan siquiera entonces se formuló realmente el concepto de número real. Se consideraba todavía una base geométrica. Newton consideró el número como una razón entre dos cantidades homogéneas de la misma naturaleza. Concebía las razones geométricas como números, pero esta concepción se basaba todavía en la geometría. Muy poco a poco, ya en el siglo XIX, se fue advirtiendo que se podían fundar los números reales en consideraciones puramente aritméticas, prescindiendo de la geometría. El primero en tener la idea fue Bolzano, un filósofo matemático checo, pero su tentativa no culminó. El primero en realizar las construcciones aritméticas de números reales fue Dedekind en 1858, al que siguieron Weierstrass y luego Cantor en 1872.

A finales del siglo XIX podemos considerar que quedaba establecido el concepto de número tal y como lo entendemos hoy en día, con algunos matices ligados a la naturaleza atribuida a los distintos tipos de números. Había en particular los números imaginarios y complejos, que era necesario usar para estudiar los enteros. Los números imaginarios aparecen por primera vez en un libro de álgebra de Giorolamo Cardano, un matemático del norte de Italia, en el siglo XVI. Pero no les sacó partido. El primer texto en el que vemos realmente en acción a estos números es un poco posterior. Es otro italiano, Bombelli, en 1572. Se trata simplemente de raíces cuadradas de números negativos. Hay una regla de signos conocida desde hace mucho tiempo que dice que si se multiplica más por más, o menos por menos, se obtiene siempre más. Por tanto, un cuadrado de un número en sentido ordinario es necesariamente positivo. Bombelli le da mayor extensión; dice haber descubierto un nuevo tipo de irracional, le da unas reglas de cálculo y demuestra que dichos números son útiles para estudiar la ecuación de tercer grado. Más tarde, en el siglo XVII, Albert Girard en 1629 y luego René Descartes enunciaron que una ecuación algebraica tiene tantas raíces o soluciones, como grados. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces, una de tercer grado, tres. etc. En su ‘Geometría’ de 1637, apéndice famoso de su ‘Discurso del Método’, Descartes, como Girard antes que él, explicó que el número de raíces era igual al grado, pero que estas raíces no siempre eran reales. Fue allí donde introdujo el término ‘imaginario’ (Girard decía “imposible”). Imaginario, es decir, que cabe imaginar un número de soluciones igual al grado. Cabe imaginarlos, es decir, representarlos por letras, ya que se está en el marco de un álgebra literal, y manipularlos como si fueran números, aunque a los ojos de Girard y Descartes no lo fuesen realmente. Los consideraban como meros intermediarios formales del cálculo muy útiles porque permitían tratar de un modo general los problemas de álgebra. Albert Girard lo dice explícitamente: se los introduce para disponer de reglas generales.

En el siglo XVII comenzó a forjarse la noción de número complejo. Se empezó demostrando que estos imaginarios, estos intermediarios formales, pues no se sabían muy qué eran, eran utilizables para el cálculo integral. Pero entonces ya no se podía decir simplemente que eran meros objetos formales, puesto que había que escribir, por ejemplo, el logaritmo de un imaginario. Había que tratar de interpretar que podían ser. En la práctica, el número imaginario intervenía siempre en un par de números reales. Es este par lo que llamamos número complejo. Un número complejo comprende una cantidad real, digamos p, y otra cantidad real, digamos q, multiplicada por √-1. La única intervención de la imposibilidad es la introducción de √-1. Fueron los números complejos los que permitieron a d’Alembert, en 1746, emprender la demostración del llamado Teorema Fundamental del Álgebra. D’Alembert precisó el enunciado de Descartes según el cual una ecuación tiene tantas raíces como grados demostrando que las raíces imaginarias introducidas por el filósofo-matemático son todas de la forma p+q…-1. La demostración completa se debe a Gauss (1799).

Pero, estos números complejos, ¿por qué son indispensables para estudiar los números enteros? Pongamos un ejemplo. El caso típico es el del último teorema de Fermat, un contemporáneo de Pascal, demostrado hace unos cuantos de años nada más. El teorema dice que cuando n es un entero mayor que 2 no hay enteros positivos a, b  y c que verifiquen la ecuación aⁿ+bⁿ=cⁿ. El caso más simple es que una suma de dos cubos no puede ser un cubo. Ahora bien, este caso ya exige la intervención de números complejos. La suma de dos cubos puede descomponerse en factores. x³+y³ es divisible por x+y. El cociente es x²-xy+y². Esta fórmula puede volver a factorizarse, pero hay que usar números complejos, pues se obtiene una ecuación de segundo grado que no tiene raíces reales. Aparecen aquí las tres raíces cúbicas de la unidad. Como demostró Euler en el siglo XVIII, también es necesario introducir números complejos para estudiar la sucesión de los números primos. Todavía hoy, uno de los problemas centrales de las matemáticas consiste en saber cómo están distribuidos los números primos en la sucesión de enteros. Estos números aparecen de manera inesperada. Sabemos que son cada vez menos numerosos a medida que se avanza en la sucesión de los enteros, pero no logramos determinar la regla que preside su aparición. El primer teorema que dio una información sobre el modo como estos números se van haciendo cada vez menos numerosos fue dada hace un siglo aproximadamente, en 1896, independientemente por el francés Hadamard y el belga La Vallée-Poussin. Para obtenerlo, hubo que utilizar las propiedades analíticas de una cierta función, la llamada Función Zeta de Riemann, que ya había sido introducida por Euler en el siglo XVIII, y que recurre a los números complejos.

A pesar de esto, no se puede decir, por tanto, que un número imaginario tenga menos realidad que un número entero, pero de todos modos subsisten puntos de vista diferentes sobre el grado de realidad de los distintos tipos de números. Estas divergencias vienen de lejos. La matemática clásica, de la Antigüedad a principio del siglo XIX, tenía una base ontológica, que era situada en distintos lugares según los matemáticos. Para Euclides, los objetos matemáticos eran probablemente ideas platónicas. en la filosofía de Platón, las ideas son verdaderas realidades y lo que nos rodea no es más que un reflejo de las verdaderas realidades. Para los filósofos de la Ilustración como d’Alembert, los objetos matemáticos eran considerados más bien como poseedores de una base empírica, como abstracciones del mundo sensible, del mundo físico que nos rodea. Pero en cualquier caso había siempre una base ontológica. Ésta tendió a disolverse cuando se descubrió la existencia de geometrías no euclídeas. Hay varias geometrías posibles y ningún medio para decidir si una es más real que otra. Desde aquella época, por tanto, para la mayoría de los matemáticos el lugar de la verdad de las matemáticas está menos en la idea de una base ontológica, de una realidad subyacente, que en la cohesión de la construcción. Pero esto depende de los autores. Para Kronecker, uno de los grandes teóricos de los números en el siglo XIX, la única realidad eran los números enteros. Todo el resto era resultado de construcciones realizadas por los matemáticos. Incluso hoy, para un matemático como René Thom, la única realidad es el continuo, y por tanto los números reales. Para él los números enteros vienen en segundo lugar, pues están sacados del continuo. Es el punto de vista inverso al de Kronecker. Estos posicionamientos tienen siempre una carga ideológica ligada a la trayectoria del matemático. Alexander Grothendieck, geómetra como René Thom pero de otra tendencia, fundó la geometría algebraica sobre bases completamente distintas, donde los números reales carecen de verdadero lugar. Ciertamente es difícil de imaginar los números enteros haciendo abstracción del continuo, cuando se cuenta se cuenta en el tiempo y hay necesariamente un continuo en alguna parte.

Por favor coja un número. O.O

Para no dormir

2013, Año Internacional de la Estadística

¿Y tu? ¿cómo ves el 2013?

Se nos acaba el año, otro, particularmente a mí se me han acabado 39, sí 39 son los fines de año que he vivido, así que ya me estoy cansando un poco de lo mismo. Eso es cosa mía, no hay por qué ver del mismo modo. De cualquier manera todos compartimos nuestros deseos y anhelos para el próximo año a la vez que de reojo valoramos el que estamos dejando atrás, así que cerrando los ojos un poco solo pido que este año nos permita al menos luchar por lo que queremos y creemos y si no se cumple que al menos no podamos recriminarnos que no lo intentamos, brindo por ello. Salud y Feliz 2013.

Antonio Roldán Martínez es profesor de Enseñanza Media jubilado y verdadero mago de los números, con visitar su espacio web, Hojamat os podréis hacer una idea de lo que os digo, lleva realizando en los últimos años una maravillosa composición (realmente descomposición) alrededor de la cifras que identifican el año entrante, la de este año está recogida en su blog  Números y hoja de cálculo, con ella cierro el año, hasta el próximo pues, que mos sea favorable y que lo llenemos de Mates.

¿Cómo veo el 2013?

Comprobado ya que el mundo no se ha acabado el día 21 y que el calendario sigue cambiando cifras por ahora, saludamos a las siguientes que van a caer:

Veo al 2013…

Desde cifras panorámicas

2013=9*8-(2+1+0)+6+57*34
2013=(5+106)*(8+7+3)+9+4+2
2013=7*8*(0+2+4+6+19+5)-3
2013=4*(1+2)+(50+37)*(9+6+8)

Con ideas trascendentes

2013=(3+1)*(4+1+5)*9/2*(6+5)+(3+5+8+9+8)    (p)
2013=2+7+1+8+(2+8+1+8+2+84)*(5+9+0+5)    (e)
2013= =1*(6+1+8+0+3+39+8+8)*(7+4+9+8)-(9+4+8+4+8)+2+0  (j)

Y aspiraciones mesiánicas

2013==(7+7+7)*(7+77+7+7)-(7+7*7)+77/7

Pero amistades satánicas

2013==6+6+6+6+(66+6*6)*6*(6+66+6)/(6+6+6+6)

Lo dejan autoreferente

2013=((2+0)^(1+3+2+0)-1*3)*(20+13)
2013=20*(1+3+2+0+1+3)^(2+0)+13

A veces escala montes

2013=12*(2+3+3+4+4+5+5+6+6+7+7+8+8+99)+9

Para llegar a la cima

2013=(9+9+9+9+9)*(9+9+9+9+9)-(9+99)/9

Y hasta una humilde colina

2013=11+(11+11)*(1+1+11)*(1+1+1+1+1+1+1)

Se lo llevan los desmontes

2013=(9+9+8+8)+(77+6+6+5+5)*(4+4+3+3+2+2+1+1)-1

Acepta humilde el fracaso

2013=(3+3)*(3+333)-3

Y aunque un poco más lo intente

2013=11+(1+1+22)*33/(4+4)*(5+5+6+6)-(7+7+8)*8
2013=-1+(1+1+2+23)*(34+4+5+5+6+6+7+7)+(8+8)

Le deja el turno al siguiente

2013=(2+0+1+4)*(2+0)*(1+4+2+0+1+4)^2+(0+1)-4

Y se va marcando el paso

2013=(6+1+6+1+6+1+6+1+6)*(1+6+1+6+1+6+1+6+1+6+16+1+6+1)+6+1
2013=(61+6+1+6+1+6+1+6+1)*(6+16+1)-(6+1+6+1+6+1)-(6+1)-6
2013=(6+1+61)*(6+16+1+6+1)-(6+1+6+1+6+1+6+1+6)+1+6
2013=(6+1+6+1+6+1+6)^1*(61+6+1+6)+1+6+1+6+1
2013=(61+6+1)*(6+1+6+16+1)-(6+1+6)-1-6-6-1
2013=(6+1+6)*161-6-1-6-1-61-6+1
2013=(6+16+16+1-6/1)*61
…

Bueno, a veces lo cambia

2013=(16+16+1)*61/6/1*6

O se hace capicúa

2013=(16+16+1)*61

¡Feliz año nuevo!

‘Los Bernoulli’ – Láminas del Mundo

Un problema “estilo Dan Meyer”

Dando un paseo por mi mi lista de lectura me he encontrado un problema, sí un PROBLEMA, tan habituado a encontrarme con ‘problemas’ que no lo son, tan solo son ejercicios con más letras que los ‘ejercicios’, me ha llamado la atención y me ha gustado, por eso lo reproduzco aquí. Su autor es Pedro Ramos y a parece publicado en su más que recomendable blog Más ideas, menos cuentas. Un blog sobre educación matemática.

Hoy, una entrada cortita y desengrasante. Los últimos días de lluvia me han dejado este problema en el jardín:

Las lluvias de la última semana han llenado de agua 2/3 del cubo de la foto. ¿Cuánto ha llovido? (La altura de la botella es de 20 cm).

Parte del problema consiste en investigar cómo se miden las precipitaciones. Aquí tengo una duda: ¿cuánta gente “de la calle” sabe que las dos unidades que se utilizan usualmente son, en realidad, la misma?

La entrada en su lugar original: Un problema “estilo Dan Meyer”