¿Hay alguien aquí?

Publicado: 3 agosto, 2015 de Pepe E. Carretero en De Claro
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Imagen  —  Publicado: 14 abril, 2014 de Pepe E. Carretero en Matimágenes
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PIPAS / πpas / 3.1416… / Corto sobre el fracaso educativo y la importancia del aprendizaje.

Avalada por diferentes premios y conocimientos, Pipas refleja la importancia de aprender y muestra el fracaso escolar de la sociedad a través de la mirada de dos chicas jóvenes.

Ganador de los premios al mejor Guión y a la mejor dirección en la XI Edición del Notodofilmfest

Protagonizado por Marta Martín y Saida Benzal

Guión y Dirección Manuela Moreno

Foto: Jon Corcuera

Productora: MOMENTO

Más info: cortopipas.blogspot.com.es/

Vídeo  —  Publicado: 14 abril, 2014 de Pepe E. Carretero en Video
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¿Instrucciones?

Publicado: 7 octubre, 2013 de Pepe E. Carretero en 'Bello'
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No sé si lo puse ya, no importa, ne gusta.

Me gusta como está hecho el vídeo, me gusta su música, pero me gusta la historia, por su significado, por todo lo que aporta en nuestra labor diaria.

PD: El vídeo está basado en un relato de Julio Cortázar, llamado así, busca, es sencillo de encontrar y sencillamente es genial.

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Imagen  —  Publicado: 27 agosto, 2013 de Pepe E. Carretero en Matimágenes
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Curva de Peano

Publicado: 27 agosto, 2013 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Fuente

Una curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es un tipo de curva continua que “recubre” todo el plano (específicamente, la curva es un conjunto denso del plano). Este tipo de curvas se obtienen mediante una sucesión de curvas continuas sin intersecciones que convergen a una curva límite. La curva límite de o curva de Peano de hecho es un objeto fractal interesante, ya que aunque su dimensión topológica es 1 su dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch es 2.

Wikipedia

ImagenWikipedia

Giuseppe Peano (Spinetta, 27 de agosto de 1858 – Turín, 20 de abril de 1932) fue un matemático, lógico y filósofo italiano,

conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín. Tal día como hoy se celebra el 155 aniversario de su nacimiento.

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Imagen  —  Publicado: 16 marzo, 2013 de Pepe E. Carretero en Matimágenes
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Ciencia o Religión

Imagen  —  Publicado: 2 marzo, 2013 de Pepe E. Carretero en De Claro
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Imagen  —  Publicado: 13 enero, 2013 de Pepe E. Carretero en Matimágenes

¿Qué es un número? Parte II

Publicado: 12 enero, 2013 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Terminé  ¿Qué es un número? Parte I en el siglo XVII de la siguiente manera:

Sin equívoco posible podemos decir que la matemática europea vivió hasta el siglo XVII sobre la teoría de las proporciones euclideas. Por lo demás, solo en esta época se adoptaron los números decimales con cifras después de la coma, que pasaron a ser de uso corriente en los cálculos astronómicos. También a principios del XVII se inventaron los logaritmos, lo cual indicaba ya una especie de concepción de un continuo numérico, pero aparecieron por razones prácticas antes de ser aceptados en el plano teórico por Newton y Leibniz quienes al fundar el cálculo diferencial e integral impusieron esta concepción del continuo numérico analizado por medio de números. Las razones que Euclides consideraba entre magnitudes geométricas se habían convertido por último en números.

Pese a todo esto, ni tan siquiera entonces se formuló realmente el concepto de número real. Se consideraba todavía una base geométrica. Newton consideró el número como una razón entre dos cantidades homogéneas de la misma naturaleza. Concebía las razones geométricas como números, pero esta concepción se basaba todavía en la geometría. Muy poco a poco, ya en el siglo XIX, se fue advirtiendo que se podían fundar los números reales en consideraciones puramente aritméticas, prescindiendo de la geometría. El primero en tener la idea fue Bolzano, un filósofo matemático checo, pero su tentativa no culminó. El primero en realizar las construcciones aritméticas de números reales fue Dedekind en 1858, al que siguieron Weierstrass y luego Cantor en 1872.

A finales del siglo XIX podemos considerar que quedaba establecido el concepto de número tal y como lo entendemos hoy en día, con algunos matices ligados a la naturaleza atribuida a los distintos tipos de números. Había en particular los números imaginarios y complejos, que era necesario usar para estudiar los enteros. Los números imaginarios aparecen por primera vez en un libro de álgebra de Giorolamo Cardano, un matemático del norte de Italia, en el siglo XVI. Pero no les sacó partido. El primer texto en el que vemos realmente en acción a estos números es un poco posterior. Es otro italiano, Bombelli, en 1572. Se trata simplemente de raíces cuadradas de números negativos. Hay una regla de signos conocida desde hace mucho tiempo que dice que si se multiplica más por más, o menos por menos, se obtiene siempre más. Por tanto, un cuadrado de un número en sentido ordinario es necesariamente positivo. Bombelli le da mayor extensión; dice haber descubierto un nuevo tipo de irracional, le da unas reglas de cálculo y demuestra que dichos números son útiles para estudiar la ecuación de tercer grado. Más tarde, en el siglo XVII, Albert Girard en 1629 y luego René Descartes enunciaron que una ecuación algebraica tiene tantas raíces o soluciones, como grados. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces, una de tercer grado, tres. etc. En su ‘Geometría’ de 1637, apéndice famoso de su ‘Discurso del Método’, Descartes, como Girard antes que él, explicó que el número de raíces era igual al grado, pero que estas raíces no siempre eran reales. Fue allí donde introdujo el término ‘imaginario’ (Girard decía “imposible”). Imaginario, es decir, que cabe imaginar un número de soluciones igual al grado. Cabe imaginarlos, es decir, representarlos por letras, ya que se está en el marco de un álgebra literal, y manipularlos como si fueran números, aunque a los ojos de Girard y Descartes no lo fuesen realmente. Los consideraban como meros intermediarios formales del cálculo muy útiles porque permitían tratar de un modo general los problemas de álgebra. Albert Girard lo dice explícitamente: se los introduce para disponer de reglas generales.

imaginario

En el siglo XVII comenzó a forjarse la noción de número complejo. Se empezó demostrando que estos imaginarios, estos intermediarios formales, pues no se sabían muy qué eran, eran utilizables para el cálculo integral. Pero entonces ya no se podía decir simplemente que eran meros objetos formales, puesto que había que escribir, por ejemplo, el logaritmo de un imaginario. Había que tratar de interpretar que podían ser. En la práctica, el número imaginario intervenía siempre en un par de números reales. Es este par lo que llamamos número complejo. Un número complejo comprende una cantidad real, digamos p, y otra cantidad real, digamos q, multiplicada por √-1. La única intervención de la imposibilidad es la introducción de √-1. Fueron los números complejos los que permitieron a d’Alembert, en 1746, emprender la demostración del llamado Teorema Fundamental del Álgebra. D’Alembert precisó el enunciado de Descartes según el cual una ecuación tiene tantas raíces como grados demostrando que las raíces imaginarias introducidas por el filósofo-matemático son todas de la forma p+q…-1. La demostración completa se debe a Gauss (1799).

Pero, estos números complejos, ¿por qué son indispensables para estudiar los números enteros? Pongamos un ejemplo. El caso típico es el del último teorema de Fermat, un contemporáneo de Pascal, demostrado hace unos cuantos de años nada más. El teorema dice que cuando n es un entero mayor que 2 no hay enteros positivos a, b  y c que verifiquen la ecuación an+bn=cnEl caso más simple es que una suma de dos cubos no puede ser un cubo. Ahora bien, este caso ya exige la intervención de números complejos. La suma de dos cubos puede descomponerse en factores. x³+y³ es divisible por x+y. El cociente es x²-xy+y². Esta fórmula puede volver a factorizarse, pero hay que usar números complejos, pues se obtiene una ecuación de segundo grado que no tiene raíces reales. Aparecen aquí las tres raíces cúbicas de la unidad. Como demostró Euler en el siglo XVIII, también es necesario introducir números complejos para estudiar la sucesión de los números primos. Todavía hoy, uno de los problemas centrales de las matemáticas consiste en saber cómo están distribuidos los números primos en la sucesión de enteros. Estos números aparecen de manera inesperada. Sabemos que son cada vez menos numerosos a medida que se avanza en la sucesión de los enteros, pero no logramos determinar la regla que preside su aparición. El primer teorema que dio una información sobre el modo como estos números se van haciendo cada vez menos numerosos fue dada hace un siglo aproximadamente, en 1896, independientemente por el francés Hadamard y el belga La Vallée-Poussin. Para obtenerlo, hubo que utilizar las propiedades analíticas de una cierta función, la llamada Función Zeta de Riemann, que ya había sido introducida por Euler en el siglo XVIII, y que recurre a los números complejos.

A pesar de esto, no se puede decir, por tanto, que un número imaginario tenga menos realidad que un número entero, pero de todos modos subsisten puntos de vista diferentes sobre el grado de realidad de los distintos tipos de números. Estas divergencias vienen de lejos. La matemática clásica, de la Antigüedad a principio del siglo XIX, tenía una base ontológica, que era situada en distintos lugares según los matemáticos. Para Euclides, los objetos matemáticos eran probablemente ideas platónicas. en la filosofía de Platón, las ideas son verdaderas realidades y lo que nos rodea no es más que un reflejo de las verdaderas realidades. Para los filósofos de la Ilustración como d’Alembert, los objetos matemáticos eran considerados más bien como poseedores de una base empírica, como abstracciones del mundo sensible, del mundo físico que nos rodea. Pero en cualquier caso había siempre una base ontológica. Ésta tendió a disolverse cuando se descubrió la existencia de geometrías no euclídeas. Hay varias geometrías posibles y ningún medio para decidir si una es más real que otra. Desde aquella época, por tanto, para la mayoría de los matemáticos el lugar de la verdad de las matemáticas está menos en la idea de una base ontológica, de una realidad subyacente, que en la cohesión de la construcción. Pero esto depende de los autores. Para Kronecker, uno de los grandes teóricos de los números en el siglo XIX, la única realidad eran los números enteros. Todo el resto era resultado de construcciones realizadas por los matemáticos. Incluso hoy, para un matemático como René Thom, la única realidad es el continuo, y por tanto los números reales. Para él los números enteros vienen en segundo lugar, pues están sacados del continuo. Es el punto de vista inverso al de Kronecker. Estos posicionamientos tienen siempre una carga ideológica ligada a la trayectoria del matemático. Alexander Grothendieck, geómetra como René Thom pero de otra tendencia, fundó la geometría algebraica sobre bases completamente distintas, donde los números reales carecen de verdadero lugar. Ciertamente es difícil de imaginar los números enteros haciendo abstracción del continuo, cuando se cuenta se cuenta en el tiempo y hay necesariamente un continuo en alguna parte.

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