Las Ecuaciones de Al-Khowarizmi

Publicado: 13 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala, Viñetas
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En el año 570, los desiertos de la eterna Arabia vieron nacer al Profeta. Mahoma vino al mundo en la ciudad de La Meca. Sobre el 610, con 40 años comenzó su predicación. En 622 tuvo que huir a Medina, ésta huída, La Hégira, marcó el comienzo de la era Musulmana. En 629 entra triunfal en su cidad natal y la hizo capital de toda Arabia. En el año 632, preparando la invasión del Imperio Bizantino, murió a causa de unas fiebres. Un siglo después, impulsados por la Jihad,  los árabes tienen el control del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India,… En 755 el estado islámico se escinde en dos partes, el reino occidental con capital en Córdoba y el oriental con capital en Bagdad.

Los árabes en un principio no estaban muy interesados en asuntos intelectuales, poco a poco comienzan a interesarse por la cultura y se muestran cada vez más ávidos de conocimientos. En los comienzos, del 650 al 750, atraen sabios hasta Bagdad y hacia el siglo VIII comienzan a traducir los textos griegos, traducen los ‘Elementos’ de Euclídes de los bizantinos, a Ptolomeo ya en siglo IX, a Apolonio, Arquímedes, Herón… Hasta Bagdad, también, llegan mercaderes de oriente, con su nuevo sistema de numeración y rápidamente asimilan la nueva aritmética india, con alguna modificación, por ejemplo no admitieron los números negativos que los hindúes sí usaban. Los sabios traen sus trabajos científicos, tratados de geometría y astronomía, tratados que se suman a los datos proporcionados por los astrónomos persas y dan lugar al florecimiento de la cartografía. En definitiva, jamás, en el transcurso de un siglo, había recibido la cultura tan fuerte impulso como el obtenido entre los años 800 y 900, cuando oriente y occidente se encontraron en Bagdad. Los conquistadores árabes no solo estaban ávidos de asimilar la antigua civilización de los países ocupados sino que además, en sus textos sagrados, invitaban al estudio:

AL QUE CAMINA A LA BÚSQUEDA DE LA CIENCIA, LO ACOMPAÑA DIOS POR EL CAMINO DEL PARAÍSO

Una de las figuras de la Matemática árabe es Al-Khowarizmi. Geógrafo, astrónomo y matemático que trabajó en la Biblioteca del Califa en siglo IX. A él se le debe una Aritmética que difundía las cifras hindúes, el cero y las reglas de las cuatro operaciones. Pero su mayor aportación llegaría en el 830, ‘Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr w’al-muqäbala’ (Libro conciso de cálculo de restauración y simplificación), primer tratado de álgebra que bebía de la tradición india, babilónica y griega. De esta obra proviene la palabra Álgebra, “al-jabr”, cuyo significado es “restauración” entendida como la restauración del equilibrio mediante la transposición de términos de una ecuación. Por otro lado “w’al-muqäbala” significa la “simplificación” de la expresión mediante la cancelación de términos semejantes  de cada lado de la ecuación.

Así x – 7 = 3, por “al-jabr” pasaría a ser x = 3 + 7  y por “w’al-muqäbala” quedaría como x = 10.

Al-Khowarizmi formula las soluciones a modo de recetario basado en el método de completar de cuadrados. Estas recetas están dadas sobre ejemplos concretos y vienen justificadas a través de razonamientos geométricos. La matemática del siglo IX estaba muy lejos de la formalización actual, el uso de letras para designar valores desconocidos no llegaría hasta el siglo XVII con los trabajos de Vieta o Descartes; el matemático persa, haciendo uso de lenguaje ordinario,  define las especies de números con las que va a calcular. Así, en la introducción de su obra, tras indicar que el libro lo escribe por encargo del califa al-Ma’mūn, dice que quiere exponer:

… lo que las gentes necesitan en sus herencias, legados, repartos, arbitrajes, comercios […] medida de tierras, perforación de canales, medición y otras cosas que dependen del cálculo.

Y a continuación presenta las especies de números como las formas  que adoptan los números que se necesitan en el cálculo:

He encontrado que los números que se necesitan en el cálculo de aljabr y al-muqābala son de tres especies, que son: raíces, tesoros y
números simples no relacionados con raíz ni con tesoro. La raíz
(jidr) es cualquier cosa que se multiplica por sí misma, como la unidad, o los números, que le son superiores, o las fracciones, que le son inferiores. El tesoro (māl) es todo lo que resulta de la raíz multiplicada por sí misma. El número simple (cadad mufrad) es todo lo que, entre los números, es expresable y que no se relaciona con raíz
ni con tesoro.

Al estudio de las soluciones de la ecuación cuadrática, Al-Khowarizmi dedicó los primeros capítulos de su tratado. Distinguió cinco casos, seis si añadimos la ecuación de primer grado, con estos casos  recorre todas las posibilidades de ecuaciones de primer y segundo grado con soluciones positivas, recordemos que la aritmética árabe no contemplaba los números negativos. Estos casos son los siguientes:

  • Tesoro igual a raíces:  ax=  bx 
  • Tesoro igual a números: ax=  c
  • Raíces igual a números: bx = c
  • Tesoro y raíces igual a números: ax + bx = c
  • Tesoro y números igual a raíces: ax + c = bx
  • Tesoro igual a raíces y números: ax= bx+ c

Al-Khowarizmi inicia, con ésta obra, El Proyecto Algebraico, el Problema Problematum al que se refiera Vieta en su ‘Introducción al arte analítica’, al señalar el más fastuoso de los problemas, el ‘No dejar ningún problema sin resolver’.

El esquema que mantiene Al-Khowarizmi al enfrentarse a la resolución de las cuadráticas, es sencillo, parte de una situación particular la cual resuelve mediante unas órdenes sencillas, para luego dar una demostración (justificación tal vez sea más ajustado) geométrica del por qué de las indicaciones, las cuáles extrapola para resolver las situaciones que encajen en el mismo caso.
A modo de ejemplo, y con lenguaje actual, resolvamos una de las ecuaciones propuestas por Al-Khowarizmi, por ejemplo,  x + 10x = 39, perteneciente al cuarto supuesto. Primero enunciaremos los pasos a dar para su resolución numérica y después añadiremos la justificación geométrica basada en la completación por cuadrados. Al-Khowarizmi nos da las siguiente indicaciones para nuestra ecuación:

Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado de 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado.

Sencillo. Con cinco instrucciones claras, Al-Khowarizmi, resuelve este tipo de ecuaciones. Pero no se contenta con describir el proceso, cosa a que ha muchos hubiera bastado, como dijimos anteriormente añade una justificación de tipo geométrico que bien pudiera ser la que sigue:
En primer lugar identifica  x2 con un cuadrado, de lado x,  al une un rectángulo de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total de 39 unidades, ya que:  x + 10x = 39. 
Seguidamente divide el rectángulo en dos rectángulos de base 5 cada uno y de igual altura,  x, que el rectángulo inicial. Colocándolos en dos lados consecutivos del cuadrado. Esta nueva figura, distinta de la inicial, mantiene la misma área que la primera. Tendríamos algo así:
La construcción se completa ” encajando” un cuadrado de lado 5 entre los dos rectángulos, simplemente prolongando sus lados menores.
De este modo, tenemos un cuadrado de lado x+5, donde se distinguen dos regiones de superficie conocida, a saber, la zona sombreada de área 25, y la que no lo está cuya área es 39, por tanto el área del cuadrado de lado x+5 es 25+39 = 64, así nuestro cuadrado (el mayor) tendrá de lado 8 = x + 5, de donde x = 3. que es la solución positiva de nuestra ecuación inicial. Es interesante notar que Al-Khowarizmi sabía de la existencia de la otra solución, – 7, pero sencillamente no la contemplaba por el hecho de ser negativa.

De un modo similar a éste se van resolviendo todos y cada uno de los casos contemplados por Al-Khowarizmi. Para terminar os dejo una captura de un par de páginas del libro ‘Historia de lasMatemáticas’ de Ediciones Proyecto Sur, en las que, en formato cómic, describe una justificación geométrica distinta, pero totalmente equivalente, para resolver este mismo tipo de ecuaciones.

 

Referencias:

‘Resolución de ecuaciones según al-Khowarizmi” de Carlos O. Suárez Alemán.

‘Historias de Al-Khowarizmi (4ª entrega). El proyecto algebraico.’ Luis Puig. SUMA65.

‘Historia de las Matemáticas’ Ediciones Proyecto Sur.

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comentarios
  1. Rafael Parra Machio dice:

    Me ha gustado mucho el resumen sobre las ecuaciones de Al-Khowarizmi, observo que te has currado el tema. Me gusta mucho la matemática antigua, de la que aprendemos cada día más. Aquí te dejo una pequeña muestra. http://hojamat.es/parra/mat_antig.pdf

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