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Curva de Peano

Publicado: 27 agosto, 2013 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Una curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es un tipo de curva continua que “recubre” todo el plano (específicamente, la curva es un conjunto denso del plano). Este tipo de curvas se obtienen mediante una sucesión de curvas continuas sin intersecciones que convergen a una curva límite. La curva límite de o curva de Peano de hecho es un objeto fractal interesante, ya que aunque su dimensión topológica es 1 su dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch es 2.

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Giuseppe Peano (Spinetta, 27 de agosto de 1858 – Turín, 20 de abril de 1932) fue un matemático, lógico y filósofo italiano,

conocido por sus contribuciones a la lógica matemática y la teoría de números. Peano publicó más de doscientos libros y artículos, la mayoría en matemáticas. La mayor parte de su vida la dedicó a enseñar en Turín. Tal día como hoy se celebra el 155 aniversario de su nacimiento.

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¿Qué es un número? Parte II

Publicado: 12 enero, 2013 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Terminé  ¿Qué es un número? Parte I en el siglo XVII de la siguiente manera:

Sin equívoco posible podemos decir que la matemática europea vivió hasta el siglo XVII sobre la teoría de las proporciones euclideas. Por lo demás, solo en esta época se adoptaron los números decimales con cifras después de la coma, que pasaron a ser de uso corriente en los cálculos astronómicos. También a principios del XVII se inventaron los logaritmos, lo cual indicaba ya una especie de concepción de un continuo numérico, pero aparecieron por razones prácticas antes de ser aceptados en el plano teórico por Newton y Leibniz quienes al fundar el cálculo diferencial e integral impusieron esta concepción del continuo numérico analizado por medio de números. Las razones que Euclides consideraba entre magnitudes geométricas se habían convertido por último en números.

Pese a todo esto, ni tan siquiera entonces se formuló realmente el concepto de número real. Se consideraba todavía una base geométrica. Newton consideró el número como una razón entre dos cantidades homogéneas de la misma naturaleza. Concebía las razones geométricas como números, pero esta concepción se basaba todavía en la geometría. Muy poco a poco, ya en el siglo XIX, se fue advirtiendo que se podían fundar los números reales en consideraciones puramente aritméticas, prescindiendo de la geometría. El primero en tener la idea fue Bolzano, un filósofo matemático checo, pero su tentativa no culminó. El primero en realizar las construcciones aritméticas de números reales fue Dedekind en 1858, al que siguieron Weierstrass y luego Cantor en 1872.

A finales del siglo XIX podemos considerar que quedaba establecido el concepto de número tal y como lo entendemos hoy en día, con algunos matices ligados a la naturaleza atribuida a los distintos tipos de números. Había en particular los números imaginarios y complejos, que era necesario usar para estudiar los enteros. Los números imaginarios aparecen por primera vez en un libro de álgebra de Giorolamo Cardano, un matemático del norte de Italia, en el siglo XVI. Pero no les sacó partido. El primer texto en el que vemos realmente en acción a estos números es un poco posterior. Es otro italiano, Bombelli, en 1572. Se trata simplemente de raíces cuadradas de números negativos. Hay una regla de signos conocida desde hace mucho tiempo que dice que si se multiplica más por más, o menos por menos, se obtiene siempre más. Por tanto, un cuadrado de un número en sentido ordinario es necesariamente positivo. Bombelli le da mayor extensión; dice haber descubierto un nuevo tipo de irracional, le da unas reglas de cálculo y demuestra que dichos números son útiles para estudiar la ecuación de tercer grado. Más tarde, en el siglo XVII, Albert Girard en 1629 y luego René Descartes enunciaron que una ecuación algebraica tiene tantas raíces o soluciones, como grados. Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces, una de tercer grado, tres. etc. En su ‘Geometría’ de 1637, apéndice famoso de su ‘Discurso del Método’, Descartes, como Girard antes que él, explicó que el número de raíces era igual al grado, pero que estas raíces no siempre eran reales. Fue allí donde introdujo el término ‘imaginario’ (Girard decía “imposible”). Imaginario, es decir, que cabe imaginar un número de soluciones igual al grado. Cabe imaginarlos, es decir, representarlos por letras, ya que se está en el marco de un álgebra literal, y manipularlos como si fueran números, aunque a los ojos de Girard y Descartes no lo fuesen realmente. Los consideraban como meros intermediarios formales del cálculo muy útiles porque permitían tratar de un modo general los problemas de álgebra. Albert Girard lo dice explícitamente: se los introduce para disponer de reglas generales.

imaginario

En el siglo XVII comenzó a forjarse la noción de número complejo. Se empezó demostrando que estos imaginarios, estos intermediarios formales, pues no se sabían muy qué eran, eran utilizables para el cálculo integral. Pero entonces ya no se podía decir simplemente que eran meros objetos formales, puesto que había que escribir, por ejemplo, el logaritmo de un imaginario. Había que tratar de interpretar que podían ser. En la práctica, el número imaginario intervenía siempre en un par de números reales. Es este par lo que llamamos número complejo. Un número complejo comprende una cantidad real, digamos p, y otra cantidad real, digamos q, multiplicada por √-1. La única intervención de la imposibilidad es la introducción de √-1. Fueron los números complejos los que permitieron a d’Alembert, en 1746, emprender la demostración del llamado Teorema Fundamental del Álgebra. D’Alembert precisó el enunciado de Descartes según el cual una ecuación tiene tantas raíces como grados demostrando que las raíces imaginarias introducidas por el filósofo-matemático son todas de la forma p+q…-1. La demostración completa se debe a Gauss (1799).

Pero, estos números complejos, ¿por qué son indispensables para estudiar los números enteros? Pongamos un ejemplo. El caso típico es el del último teorema de Fermat, un contemporáneo de Pascal, demostrado hace unos cuantos de años nada más. El teorema dice que cuando n es un entero mayor que 2 no hay enteros positivos a, b  y c que verifiquen la ecuación an+bn=cnEl caso más simple es que una suma de dos cubos no puede ser un cubo. Ahora bien, este caso ya exige la intervención de números complejos. La suma de dos cubos puede descomponerse en factores. x³+y³ es divisible por x+y. El cociente es x²-xy+y². Esta fórmula puede volver a factorizarse, pero hay que usar números complejos, pues se obtiene una ecuación de segundo grado que no tiene raíces reales. Aparecen aquí las tres raíces cúbicas de la unidad. Como demostró Euler en el siglo XVIII, también es necesario introducir números complejos para estudiar la sucesión de los números primos. Todavía hoy, uno de los problemas centrales de las matemáticas consiste en saber cómo están distribuidos los números primos en la sucesión de enteros. Estos números aparecen de manera inesperada. Sabemos que son cada vez menos numerosos a medida que se avanza en la sucesión de los enteros, pero no logramos determinar la regla que preside su aparición. El primer teorema que dio una información sobre el modo como estos números se van haciendo cada vez menos numerosos fue dada hace un siglo aproximadamente, en 1896, independientemente por el francés Hadamard y el belga La Vallée-Poussin. Para obtenerlo, hubo que utilizar las propiedades analíticas de una cierta función, la llamada Función Zeta de Riemann, que ya había sido introducida por Euler en el siglo XVIII, y que recurre a los números complejos.

A pesar de esto, no se puede decir, por tanto, que un número imaginario tenga menos realidad que un número entero, pero de todos modos subsisten puntos de vista diferentes sobre el grado de realidad de los distintos tipos de números. Estas divergencias vienen de lejos. La matemática clásica, de la Antigüedad a principio del siglo XIX, tenía una base ontológica, que era situada en distintos lugares según los matemáticos. Para Euclides, los objetos matemáticos eran probablemente ideas platónicas. en la filosofía de Platón, las ideas son verdaderas realidades y lo que nos rodea no es más que un reflejo de las verdaderas realidades. Para los filósofos de la Ilustración como d’Alembert, los objetos matemáticos eran considerados más bien como poseedores de una base empírica, como abstracciones del mundo sensible, del mundo físico que nos rodea. Pero en cualquier caso había siempre una base ontológica. Ésta tendió a disolverse cuando se descubrió la existencia de geometrías no euclídeas. Hay varias geometrías posibles y ningún medio para decidir si una es más real que otra. Desde aquella época, por tanto, para la mayoría de los matemáticos el lugar de la verdad de las matemáticas está menos en la idea de una base ontológica, de una realidad subyacente, que en la cohesión de la construcción. Pero esto depende de los autores. Para Kronecker, uno de los grandes teóricos de los números en el siglo XIX, la única realidad eran los números enteros. Todo el resto era resultado de construcciones realizadas por los matemáticos. Incluso hoy, para un matemático como René Thom, la única realidad es el continuo, y por tanto los números reales. Para él los números enteros vienen en segundo lugar, pues están sacados del continuo. Es el punto de vista inverso al de Kronecker. Estos posicionamientos tienen siempre una carga ideológica ligada a la trayectoria del matemático. Alexander Grothendieck, geómetra como René Thom pero de otra tendencia, fundó la geometría algebraica sobre bases completamente distintas, donde los números reales carecen de verdadero lugar. Ciertamente es difícil de imaginar los números enteros haciendo abstracción del continuo, cuando se cuenta se cuenta en el tiempo y hay necesariamente un continuo en alguna parte.

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El Planeta ‘Vagabundo’

Publicado: 16 noviembre, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Un mundo errante vaga por el espacio. El insólito objeto cósmico, detectado por el Observatorio Austral Europeo (ESO, por sus siglas en inglés), flota libremente por el Universo sin estrella anfitriona. Este cuerpo es el mejor candidato descubierto hasta ahora que podría clasificarse como planeta errante y el objeto de este tipo más cercano al Sistema Solar, ya que se encuentra a una distancia de unos 100 años luz.

Los planetas errantes son objetos de masa planetaria que vagabundean por el espacio sin estar atados a ninguna estrella. Ya se han encontrado antes posibles ejemplos de este tipo de objetos, pero, al no conocer sus edades, los astrónomos no podían saber si se trataba de planetas o de enanas marrones — estrellas ‘fallidas’ que perdieron la masa necesaria para desencadenar las reacciones que hacen brillar a las estrellas.

Pero ahora los astrónomos han descubierto un objeto, denominado CFBDSIR2149, que parece formar parte de un grupo cercano de estrellas jóvenes conocido como Asociación estelar de AB Doradus. Los investigadores encontraron el objeto en unas observaciones realizadas con el telescopio CFHT (Canada France Hawaii Telescope) y han aprovechado las capacidades del VLT (Very Large Telescope) de ESO para examinar en profundidad sus propiedades.

El lazo entre el nuevo objeto y la asociación estelar es la clave que permitirá a los astrónomos deducir la edad del nuevo objeto descubierto. Si el objeto está asociado a este grupo en movimiento -y por tanto es un objeto joven— es posible deducir aún más cosas sobre él, incluyendo su temperatura, su masa, y de qué está compuesta su atmósfera. Se trata del primer objeto de masa planetaria aislado identificado en una asociación estelar, y su relación con este grupo lo convierte en elcandidato a planeta errante más interesante de los identificados hasta el momento.

“Buscar planetas alrededor de sus estrellas es similar a estudiar una mosca sentada a un centímetro de un distante y potente faro de coche“, afirma Philippe Delorme (Instituto de planetología y astrofísica de Grenoble), investigador principal del nuevo estudio. “Este objeto errante cercano nos da la oportunidad de estudiar la mosca con detalle sin la deslumbrante luz del faro estorbándonos”.

Se cree que objetos como este se pueden crear de dos modos, ambos intrigantes: como planetas normales que han sido expulsados del sistema que los albergaba, o bien como objetos solitarios como las estrellas más pequeñas o enanas marrones.

Este tipo de planetas pueden ser una ventana a multitud de conocimientos sobre el Universo. “Estos objetos son importantes, ya que pueden ayudarnos tanto a comprender más sobre cómo pueden eyectarse planetas de sistemas planetarios, como a entender cómo objetos muy ligeros pueden resultar del proceso de formación de una estrella”, afirma Philippe Delorme. “Si este pequeño objeto es un planeta que ha sido eyectado de su sistema original, saca de la nada la asombrosa imagen de mundos huérfanos, a la deriva en el vacío del espacio”.

Sin embargo, las investigaciones aún deben continuar para certificar si este objeto es definitivamente un planeta errante.

 

Publicado en El Mundo.es. Para ver fuente pichar aquí.

Leibniz vs Newton I

Publicado: 14 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Viñetas
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¿Qué es un número? Parte I

Publicado: 14 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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La noción de número ha sufrido múltiples metamorfosis a lo largo de la historia, desde los primeros sistemas de contar de los sumerios hasta las últimas especies numéricas inventadas por los matemáticos. La vieja pregunta es ¿cabe definir un número?

Podemos afirmar que la noción abstracta de número emerge en Mesopotamia. Los sumerios disponían de anotaciones diferentes según que se tratara de objetos que se podían contar uno a uno, como cabeza de ganado, de medidas de volumen para los líquidos, para grano y así sucesivamente. Y luego a finales del III milenio, los escribas sumerios inventaron un sistema destinado aplicarse a cualquier cosa susceptible de ser contada, es aquí donde vemos formarse el concepto de número abstracto en la notación escrita, de alguna manera unificaron todas las notaciones existentes, y lo hicieron usando la base sesenta. ¿El motivo de esta base? Sabemos que sesenta venía de uno de los sistemas metrológicos anteriores, en el que los multiplicadores, para pasar de una unidad al grupo de la escala superior, eran alternativamente seis y diez, se procedió pues a una reagrupación. Los babilonios heredaron esta notación en base sesenta, que nosotros también hemos heredado en nuestro modo de contar las horas, los minutos y segundo.

Otra cuestión son los racionales, los babilonios, al igual que los egipcios, no conocían los racionales. es cierto que ambos pueblos disponían de ciertas formas de fracciones. Pero fracciones con denominador uno. Con su sistema de base sesenta, los babilonios escribían de la misma manera lo que hoy son las cifras posteriores a la coma. El clavo vertical que designava la unidad lo mismo podía designar sesenta unidades que una sesentava parte.

Las fracciones egipcias son lo que a veces se conoce como “cuantésimos”: ante un problema como el de repartir una ración entre varios obreros, cuando el resultado no es exacto, las partes fraccionarias se expresaban como combinaciones de fracciones de tipo un cuarto, un octavo, etc

Aunque hay quien afirma que hubo que esperar a la Grecia antigua para que aparecieran los racionales realmente esto tampoco es del todo cierto. Paralos matemáticos griegos los únicos números identificados como tales eran los enteros. Fue la escuela pitagórica, no sabemos exactamente en qué época, lo más tarde en el siglo V antes de nuestra era, la que descubrió realmente la irracionalidad de ciertas razones de magnitudes. En particular, la diagonal del cuadrado guarda una relación irracional con el lado, lo cual significa que este cociente no puede ser igual al de dos enteros. Pero ante el problema planteado los griegos no inventaron un nuevo tipo de números sino una teoría de las proporciones entre magnitudes geométricas completamente independiente de los números. es lo que se encuentra en el libro V de los ‘Elementos de Euclides’: una teoría que permite manejar proporciones entre magnitudes geométricas. Pero estas magnitudes nunca se consideraron como medidas por números. Por tanto no se puede decir que √2 existe en la matemática griega. Lo que existe son magnitudes geométricas, que no necesariamente son racionales. Pero no solo √2, en la matemática griega π tampoco tenía categoría de numero. En el libro XII de los ‘Elementos’ hay una proposición que dice que el área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio. Se puede pues concebir, en el marco de la geometría griega, el cociente entre el área del círculo y el cuadrado del radio. Es lo que llamaríamos π. Pero este tipo de razón no se contempla como un objeto matemático. Se trata de una relación entre magnitudes. Aunque Arquímedes calculó una aproximación de π, todavía no había número π en la matemática griega.

Lo que es indudable es que en la Grecia clásica es donde surge la primera reflexión sobre la identidad del número. Aunque no sabemos cuándo ni cómo. el primer texto que poseemos, estos famosos ‘Elementos de Euclides’ datan del 300 antes de nuestra era, una fecha ya tardía respecto a la Grecia clásica. No conocemos con exactitud la génesis de las concepciones que allí se expresan. Euclides define un número como una multiplicidad de unidades, siendo la unidad un concepto primitivo no definido, que ya está ahí. Y en virtud de la teoría de las proporciones, la geometría goza de una cierta preeminencia sobre el resto de las matemáticas. Cuando Euclides trata la teoría de números en sus libros VII, VIII y XIX, representa los números por medio de segmentos, lo que le permite razonar sobre números no especificados, abstractos. Ni siquiera dice si se trata de dos o tres, lo que dice es: considero un número y lo designo por medio de un segmento. Y a estos segmentos les aplica razonamientos geométricos. es pues la geometría la que sirve a la teoría de números. La fusión entre los dos concepciones llegará muy tarde, hacia fines del siglo XVIII con gente como Newton y Leibnitz, al término de una larga maduración que tiene su origen en la práctica algebraica.

El álgebra fue fundada en el siglo IX por la matemáticos árabes, que introdujeron el concepto fundamental de ecuación. Ecuación en el sentido de expresión de un problema.

En la intención de sus fundadores, esencialmente Al-Khowarizmi, a comienzos del siglo IX, un cierto número de problemas matemáticos podían expresarse en forma canónica: lo que hoy llamaríamos ecuación de segundo grado. Estaba la incógnita, que Al-Khoarizmi llamaba la cosa, y luego el cuadrado de la incógnita, que llamaba en árabe, el bien, la riqueza (census en latín), porque este tipo de consideraciones las aplicaba sobre todo a problemas de repartos de herencia. Una ecuación era pues una relación que combinaba la incógnita, su cuadrado y un número. Se trataba de hallar la incógnita. Pero esta álgebra se utilizó también, desde el principio, para resolver problemas de tipo numérico en un contexto geométrico, para resolver problemas en los que la incógnita era una magnitud geométrica. Después de lo cual los matemáticos árabes desarrollaron un cálculo de polinomios, introdujeron otras potencias, el cubo, la cuarta potencia e incluso potencias negativas. Pero dependiendo del problema la incógnita podía ser una magnitud geométrica o un número. esto indujo una reacción en sentido contrario: los árabes se dieron cuenta de que podían tratar de un modo calculatorio las propias magnitudes geométricas. Reinterpretaron a la manera aritmética el libro X de los ‘Elementos de Euclides’, que presentaba toda una teoría sobre la clasificación de las magnitudes irracionales que se encuentran en las construcciones geométricas. Luego, a partir del siglo XII, los algebristas árabes efectuaron cálculo aproximados en notación decimal con cifras detrás de la coma, unos cálculos muy elaborados con raíces de cualquier orden. Pero todavía y hasta el siglo XVII o XVIII se consideraba que por un lado estaban los números y por otro la geometría. En el siglo XVII, Pascal escribió: “La geometría no puede definir los números, el movimiento y el espacio”.

Sin equívoco posible podemos decir que la matemática europea vivió hasta el siglo XVII sobre la teoría de las proporciones euclideas. Por lo demás, solo en esta época se adoptaron los números decimales con cifras después de la coma, que pasaron a ser de uso corriente en los cálculos astronómicos. También a principios del XVII se inventaron los logaritmos, lo cual indicaba ya una especie de concepción de un continuo numérico, pero aparecieron por razones prácticas antes de ser aceptados en el plano teórico por Newton y Leibniz quienes al fundar el cálculo diferencial e integral impusieron esta concepción del continuo numérico analizado por medio de números. Las razones que Euclides consideraba entre magnitudes geométricas se habían convertido por último en números.

El simbolismo numérico de San Agustín

Publicado: 1 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Aunque el Santo Agustín, uno de los cuatro grandes Padres de la Iglesia, vivió bastantes años después de Pitágoras, unos mil, año arriba, año abajo, sus elucubraciones con los números naturales permiten establecer un cierto paralelismo entre ambos, si no en los descubrimientos matemáticos, sí en la asignación de un simbolismo, según podemos apreciar en el siguiente párrafo tomado del ‘Sermón 41’.

El número setenta y siete simboliza la abolición de todos los pecados por el bautismo… El número diez significa justicia y beatitud, resultando de la criatura, la cual hace siete, con la Trinidad, que es tres: es por ello que los mandamientos de Dios son diez. El setenta y siete es el producto de once, símbolo del pecado, multiplicado por siete, y no por diez, pues siete es el número de la criatura. El tres representa el alma, la cual es en alguna manera una imagen de la Divinidad; y cuatro representa el cuerpo, en razón de sus cuatro cualidades…

Los Números de Jasper Johns

Publicado: 15 junio, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Tras la Segunda Guerra el centro de gravitación artistico se desplaza del Viejo Continete al Nuevo Mundo. Los Estados Unidos habián ollado la cumbre del poder mundial venciendo, militarmente, al nazismo  en los campos europeos y al comunismo, afixiado por el coste de la guerra, en el plano económico, la victoria política llegaría años más tarde con el colapso del frente socialista a finales de los ochente y principois de los noventa.

EEUU es la nueva potencia emergente, su luz ilumina los caminos del nuevo status quo. Nueva York es la capital cultural del mundo. El arte encuentra en ‘la ciudad que nunca duerme’ el acomodo que los nuevos tiempos le demandan y la gran metrópoli acoge a los nuevos inquilinos con los brazos abiertos.

Los últimos años de la década de los cuarenta están dominados por lo que se dio en conocer como ‘Expresionismo Abstracto’, denominación que agrupa a un variopinto grupo de pintores, cuyo nexo de unión es la abstracción y los grandes formatos, pero con orientaciones pictóricas muy diversas y, en muchas ocasiones, contrapuestas.

Jackson Pollock 1949

El panorama varió de forma radical a principios de los sesenta con la irrupción del ‘Pop’, donde los objetos e imágenes de la cultura de masas se erigen en los verdaderos protagonistas.

Roy Lichtenstein 1963

Entre una y otra generación existen figuras puente, que partiendo de las conquistas expresionistas, allanan el terreno al pop. Aquí encontramos a Jasper Johns. Ahora sí la complejidad de Johns no se agota en esa condición de enlace entre movimientos, cuando en 1955 empieza a pintar banderas y dianas hace algo más que anticipar el interés por el objeto, construye un discurso hasta el momento inédito acerca de la relación entre la imagen y la representación.

Pero no son sus barras y estrellas o sus dianas las que traen a este extraordinario pintor a estos campos. En los inicios de su carrera, casi al mismo tiempo que de las dianas y banderas, Jasper inaugura una nueva línea en su trabajo: los cuadros con números y letras. Estos pueden aprecer aislados o bien en series. Los números son signos abstracos que en el cuadro son despojados por completo de su función. Se reducen a estructuras gráficas a partir de las que el pintor organiza a base de color. Aquí no hay objetos, como ocurre con las banderas, sino representaciones ideales cuya naturaleza racional contrasya con lo vibrante y pasional de la materia pictórica.

En Cero a través de nueve, 1961, el autor superpone toda la secuencia numérica enmarcada por el cero, el máximo grado de abstracción numérica y, aquel que formalmente los contiene a todos, así el significado y función de las formas se pierde más si cabe.

En Números en color, 1958-1959 Las series numéricas en banda hacen posibles lecturas secuenciales en diferentes direcciones, como en una tabla. Visialmente domino el efecto de la retícula, la repetición disuelve le significado con lo que los números se convierten en meras estructuras formales.

También encontramos en su obra cifras tratadas individualmente, como Cifra 2 1962, aquí a diferencia de la mayoría de sus números y alfabetos de finales de los cincuenta y principios de los sesenta, Johns usa los grises evitando las composiciones armónicas de azules, rojos y amarillos.

 

 

Tomo como punto de partida de esta segunda parte dedicada a Thales, la introducción que Wikipedia da en su biografía

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 – 545 a. C. ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

En los breves apuntes biográficos dados en la Parte I, dedicada al sabio milenio, hice hincapié en los viajes que Thales realizó principalmente a la Mesopotamia, donde conoció la Astrología Babilónica y también sus Matemáticas (esto tiende a obviarse dado el gran desarrollo de las ciencias celeste de aquel pueblo) y sobre todo a Egipto. De Egipto, de su agricultura más concretamente,  provienen casi todos los hecho geométricos atribuidos a Thales, nadie duda esto actualmente, lo que también se asume hoy en día es que fue Thales, y ese es uno de sus grandes méritos, quién transfirió la Geometría de Ciencia Descriptiva a Ciencia Exacta, abriendo así el camino, a mi modo de ver, a la mayor aportación en el campo intelectual que el humano ha realizado, la Geometría Griega o Helenística para incluir períodos posteriores de la Grecia Clásica como el romano.

Al intentar analizar las aportaciones al campo geométrico de Thales la primera entrada que encontramos es su famoso teorema. ‘El Teorema de Thales’ ha elevado a categoría de inmortal a nuestro personaje, pocos matemáticos, quizás Pitágoras o Arquímedes, pueden competir en popularidad con él (su teorema estudiado desde las más tempranas edades escolares, aunque difícilmente recordado, evoca el nombre del autor pasados los años de aprendizaje).

Resulta sorprendente para los que son capaces de recordar el enunciado de las paralelas cortadas por secantes o viceversa encontrarse con el enunciado siguiente del ahumado resultado:

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

Entrada en Wikipedia

Imagen tomada de aquí

Y es cierto, el enunciado anterior también es conocido como el Teorema de Thales, de hecho hay dos teoremas así denominados y atribuidos al mismo autor. Pero aún hay más, la versión de las paralelas, cortadas… no constituye en sí el, primer Teorema de Thales (el ordinal es una manera de poder referirme a ellos), sí una consecuencia que se demuestra equivalente al enunciado original y que puede ser expresado así:

“Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”

Estaremos de acuerdo que esta versión es más agradable y menos engorrosa que las proporcionalidad establecidas entre segmentos correspondientes en un sistema de paralelas cortados por dos secantes.

Básicamente la versión triangular del teorema nos indica como construir un triángulo semejante a otro dado, por lo tanto parte de la noción de semejanza que posiblemente Thales bien conociera de los agrimensores egipcios y a la que le sacó un gran rendimiento estableciendo, como consecuencia, ‘la constancia’ de los lado de los triángulos como luego veremos en la medición de las pirámides.

La segunda versión, la de los triángulos inscritos en una circunferencia y con un lado sobre el diámetro es muy útil a la hora de construir triángulos rectángulos, método muy usado en aquellos tiempos junto a la cuerda anudada dividida en doce partes iguales y otros.

De cualquiera de las maneras el éxito de Thales no está en su uso, cosa que se hacía antes que él, si no en su establecimiento como resultado esencial de la geometría, enunciándolo y refutándolo.

Con estos miembros se hundió la leyenda, cierta o no poco nos importa, que Plutarco relató sobre la medición de las alturas de las pirámides de Guiza, Keops, Kefrén y Micerinos, en Egipto.

¿Cómo midió Thales dichas pirámides?

Para responder la pregunta intentaré separar conceptos que, desde mi perspectiva, no separamos (estoy hablando ahora en clave profesor de secundaria) al trabajar con el teorema en el aula. Partimos de dos elementos, la noción de semejanza (igualdad de ángulos y proporción en los lados) y el enunciado del primer teorema, que nos garantiza la construcción de un triángulo semejante a uno dado.

Si nos encontramos al aire libre y clavamos, perpendicularmente al suelo un par de estacas de diferentes alturas del modo que se representa en la figura, fácilmente observamos que los dos triángulos que aparecen se encuentran en las hipótesis del teorema de Thales por lo tanto nuestros triángulos son semejantes. Pero ¿podemos establecer que A/B sea igual a D/C? la respuesta es sí, pero ni mucho menos es algo inmediato, un corolario de nuestro teorema así nos lo garantiza pero esa no es la tesis del teorema en sí. Es decir, el hecho de construir un segundo triángulo a partir de otro dado trazando una paralela a un lado me garantiza la semejanza de los dos triángulos ( o sea si comparo ‘lados correspondientes’ obtendré la misma razón) pero no tengo, a priori (eso sí se prueba luego), garantizada que se mantenga constante el cociente entre los lados de un mismo triángulo.

El mantenimiento de estos cocientes, en la figura A/B = D/C, queda establecida por Thales como consecuencia del teorema y en él se apoya el genial matemático para medir las pirámides.

Plutarco se hace eco de una leyenda que decía que Tales de Mileto en uno de sus viajes a Egipto, visitó la necrópolis de la meseta de Guiza  y sus famosas pirámides erigidas en honor a sus faraones, construidas varios siglos antes.

Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que A/B = D/C , por lo tanto la altura de la pirámide es D = (A·C)/B , con lo cual resolvió el problema.

Entrada en Wikipedia

Thales trabajó y perfeccionó estos sistemas indirectos de medición y los fue aplicando con distintos fines, entre ellos a la navegación tan importante para las ciudades estado griegas.

Seguro que esta es la más conocida de las anécdotas atribuidas a Thales, pero su aportación a la geometría fue más allá, llegando a dominar las bases de lo que luego se denominaría Geometría Euclidea, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular. Pero por encina de los conocimientos concretos que poseyera lo esencial en él fue alcanzar unos niveles de complejidad y abstracción en su trabajo fuera del alcance  de los agrimensores egipcios. El establecimiento de sus teoremas supone el germen del concepto de demostración, poniendo las bases para la organización racional de la ciencia, posiblemente mucho de lo recogido, años más tarde, en Los Elementos por Euclides provenga de él. En definitiva  Thales dio el salto definitivo de la descripción a la formalización, el salto que condujo a la creación de la Geometría, sobre cuyos hombros descansó la ciencia hasta bien entrado el siglo XIX.

Referencias

Tales de Mileto-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Teorema de Tales-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Carnaval de Matemáticas (y 4): El teorema de Thales y su historia aderezados por Les Luthiers

Serie de Biografías Universales. Thales de Mileto. Encyclopedia Chanel vía Youtube.

El Legado de Pitágoras. Canal Historia.

Thales, un tipo listo

Publicado: 4 mayo, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Viñetas
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