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Tomo como punto de partida de esta segunda parte dedicada a Thales, la introducción que Wikipedia da en su biografía

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 – 545 a. C. ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

En los breves apuntes biográficos dados en la Parte I, dedicada al sabio milenio, hice hincapié en los viajes que Thales realizó principalmente a la Mesopotamia, donde conoció la Astrología Babilónica y también sus Matemáticas (esto tiende a obviarse dado el gran desarrollo de las ciencias celeste de aquel pueblo) y sobre todo a Egipto. De Egipto, de su agricultura más concretamente,  provienen casi todos los hecho geométricos atribuidos a Thales, nadie duda esto actualmente, lo que también se asume hoy en día es que fue Thales, y ese es uno de sus grandes méritos, quién transfirió la Geometría de Ciencia Descriptiva a Ciencia Exacta, abriendo así el camino, a mi modo de ver, a la mayor aportación en el campo intelectual que el humano ha realizado, la Geometría Griega o Helenística para incluir períodos posteriores de la Grecia Clásica como el romano.

Al intentar analizar las aportaciones al campo geométrico de Thales la primera entrada que encontramos es su famoso teorema. ‘El Teorema de Thales’ ha elevado a categoría de inmortal a nuestro personaje, pocos matemáticos, quizás Pitágoras o Arquímedes, pueden competir en popularidad con él (su teorema estudiado desde las más tempranas edades escolares, aunque difícilmente recordado, evoca el nombre del autor pasados los años de aprendizaje).

Resulta sorprendente para los que son capaces de recordar el enunciado de las paralelas cortadas por secantes o viceversa encontrarse con el enunciado siguiente del ahumado resultado:

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

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Imagen tomada de aquí

Y es cierto, el enunciado anterior también es conocido como el Teorema de Thales, de hecho hay dos teoremas así denominados y atribuidos al mismo autor. Pero aún hay más, la versión de las paralelas, cortadas… no constituye en sí el, primer Teorema de Thales (el ordinal es una manera de poder referirme a ellos), sí una consecuencia que se demuestra equivalente al enunciado original y que puede ser expresado así:

“Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”

Estaremos de acuerdo que esta versión es más agradable y menos engorrosa que las proporcionalidad establecidas entre segmentos correspondientes en un sistema de paralelas cortados por dos secantes.

Básicamente la versión triangular del teorema nos indica como construir un triángulo semejante a otro dado, por lo tanto parte de la noción de semejanza que posiblemente Thales bien conociera de los agrimensores egipcios y a la que le sacó un gran rendimiento estableciendo, como consecuencia, ‘la constancia’ de los lado de los triángulos como luego veremos en la medición de las pirámides.

La segunda versión, la de los triángulos inscritos en una circunferencia y con un lado sobre el diámetro es muy útil a la hora de construir triángulos rectángulos, método muy usado en aquellos tiempos junto a la cuerda anudada dividida en doce partes iguales y otros.

De cualquiera de las maneras el éxito de Thales no está en su uso, cosa que se hacía antes que él, si no en su establecimiento como resultado esencial de la geometría, enunciándolo y refutándolo.

Con estos miembros se hundió la leyenda, cierta o no poco nos importa, que Plutarco relató sobre la medición de las alturas de las pirámides de Guiza, Keops, Kefrén y Micerinos, en Egipto.

¿Cómo midió Thales dichas pirámides?

Para responder la pregunta intentaré separar conceptos que, desde mi perspectiva, no separamos (estoy hablando ahora en clave profesor de secundaria) al trabajar con el teorema en el aula. Partimos de dos elementos, la noción de semejanza (igualdad de ángulos y proporción en los lados) y el enunciado del primer teorema, que nos garantiza la construcción de un triángulo semejante a uno dado.

Si nos encontramos al aire libre y clavamos, perpendicularmente al suelo un par de estacas de diferentes alturas del modo que se representa en la figura, fácilmente observamos que los dos triángulos que aparecen se encuentran en las hipótesis del teorema de Thales por lo tanto nuestros triángulos son semejantes. Pero ¿podemos establecer que A/B sea igual a D/C? la respuesta es sí, pero ni mucho menos es algo inmediato, un corolario de nuestro teorema así nos lo garantiza pero esa no es la tesis del teorema en sí. Es decir, el hecho de construir un segundo triángulo a partir de otro dado trazando una paralela a un lado me garantiza la semejanza de los dos triángulos ( o sea si comparo ‘lados correspondientes’ obtendré la misma razón) pero no tengo, a priori (eso sí se prueba luego), garantizada que se mantenga constante el cociente entre los lados de un mismo triángulo.

El mantenimiento de estos cocientes, en la figura A/B = D/C, queda establecida por Thales como consecuencia del teorema y en él se apoya el genial matemático para medir las pirámides.

Plutarco se hace eco de una leyenda que decía que Tales de Mileto en uno de sus viajes a Egipto, visitó la necrópolis de la meseta de Guiza  y sus famosas pirámides erigidas en honor a sus faraones, construidas varios siglos antes.

Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que A/B = D/C , por lo tanto la altura de la pirámide es D = (A·C)/B , con lo cual resolvió el problema.

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Thales trabajó y perfeccionó estos sistemas indirectos de medición y los fue aplicando con distintos fines, entre ellos a la navegación tan importante para las ciudades estado griegas.

Seguro que esta es la más conocida de las anécdotas atribuidas a Thales, pero su aportación a la geometría fue más allá, llegando a dominar las bases de lo que luego se denominaría Geometría Euclidea, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular. Pero por encina de los conocimientos concretos que poseyera lo esencial en él fue alcanzar unos niveles de complejidad y abstracción en su trabajo fuera del alcance  de los agrimensores egipcios. El establecimiento de sus teoremas supone el germen del concepto de demostración, poniendo las bases para la organización racional de la ciencia, posiblemente mucho de lo recogido, años más tarde, en Los Elementos por Euclides provenga de él. En definitiva  Thales dio el salto definitivo de la descripción a la formalización, el salto que condujo a la creación de la Geometría, sobre cuyos hombros descansó la ciencia hasta bien entrado el siglo XIX.

Referencias

Tales de Mileto-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Teorema de Tales-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Carnaval de Matemáticas (y 4): El teorema de Thales y su historia aderezados por Les Luthiers

Serie de Biografías Universales. Thales de Mileto. Encyclopedia Chanel vía Youtube.

El Legado de Pitágoras. Canal Historia.

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¿Y si toca aquí?

Publicado: 4 noviembre, 2011 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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¿Y si te toca? ¿Cuál piensas que sería tu reacción? Supongo que brincos, gritos, abrazos, choque de copas, locura … Lo imagino como algo parecido a la celebración de un gol en la Final de un Campeonato del Mundo. Seguro que reconocéis la imagen, el goleador tras ver como el esférico, siempre quise decir esto, traspasa la línea de meta, se vuelve hacia la grada en una carrera frenética y, rodillas flexionadas, se lanza al césped con los brazos en alto abiertos hacia el cielo.

¡Buf! ¡Qué pasada si me tocara un millón!

Pues no deja de ser sorprendente el símbolo que los antiguos egipcios, en su sistema de numeración, usaban para un millón. El millón era representado por un hombre arrodillado con los brazos abiertos hacia el cielo. Sí, algo así:

Ciertamente, las cosas no han cambiado mucho, la alegría millonaria también embargaba a los antiguos moradores de la ribera del  Nilo.

Realmente no es un hombre, es la representación del Dios HEH, Dios egipcio del Espacio Infinito y de la Eternidad (por qué no tendremos nosotros dioses de este tipo con lo chulos que son). Y por tanto “era usado para representar un millón (cantidad) y para el infinito en la matemática egipcia” según leo en la Wikipedia, cosa que me intriga, pues desconozco el uso matemático que los egipcios daban al indómito infinito.

Ahora en Cómic

Publicado: 6 octubre, 2011 de Pepe E. Carretero en Matimágenes
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Pirámide Djoser

Publicado: 6 octubre, 2011 de Pepe E. Carretero en Matimágenes
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Imhotep fue el constructor de esta pirámide. Vivió bajo la III dinastía, fue arquitecto, médico, matemático y astrónomo.

Magos de las cifras

Publicado: 6 octubre, 2011 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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La pericia que adquirieron los egipcios en las matemáticas queda reflejada en una serie de papiros, conservados en diversos museos, que debían de ser cuadernos de ejercicios para estudiantes. Los problemas se solían presentar como un conjunto de operaciones para las que no se daba una solución desarrollada; probablemente, pues, los estudiantes contaban con las explicaciones de su maestro, transmitidas oralmente. Es posible también que los estudiantes memorizaran enunciados y soluciones, de modo que ante cuestiones similares, de modo que ante cuestiones similares no tuvieran más que cambiar datos.

El Papiro Anastasi I, versión de un texto original satírico de inicios de la dinastía XIX, ofrece ejemplos de lo que se consideraba que un buen escriba debía saber. Uno de los problemas que plantea es: “Te dicen que debes vaciar un almacen que está lleno de arena bajo el coloso de tu señor, que ha sido traído desde la cantera de Gebel Ahmar. Mide 30 codos de longitud por 20 de ancho. Su fundamento consiste en diez compartimentos llenos de arena de la orilla, mientras que las particiones de sus compartimentos tienen un ancho de 12 codos y una altura de 50 codos […]¿Cuántos hombres serán necesarios para vaciarlos en seis horas[…] para que el coloso se erija en su lugar?”.

En algunos de estos papiros matemáticos, los problemas planteados alcanzan un notable grado de complejidad. Así ocurre en el más complicado de ellos, el Papiro Rhind, de 5 metros de longitud, fechado en el año 33 del rey hicso Apofis (hacia el 1.550 a.C.), si bien es una copia de tres siglos anterior. Contiene 84 problemas que abarcan divisiones, multiplicaciones, sumas, operaciones con fracciones, raíces, cálculo de volúmenes, superficies, alturas, pendientes; todos ellos perfectamente ordenados en problemas de aritmética, álgebra y geometría. Destaca el método usado para calcular el área del círculo; en el problema 50, el valor de Π, logrado empíricamente, es de 3,16, es decir, mucho más próximo al valor real que al 3 que empleaban la mayoría de pueblos del Próximo Oriente antiguo.

En el Papiro de Moscú, algo más antiguo que el Papiro Rhind, destaca el problema número 10, que podría tratar del cálculo del área de una hemiesfera, muchos siglos antes que Arquímedes de Siracusa, matemático al que se atribuye el cálculo. Y el Papiro Berlín 6619 (del Imperio Medio), que contiene sólo dos problemas aritméticos, muestra las más antiguas versiones de lo que después conoceremos como teorema de Pitágoras y ecuación de segundo grado.

Las Matemáticas en Egipto

Publicado: 6 octubre, 2011 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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Herodoto contaba que el faraón Sesostris “repartió el suelo entre todos los egipcios, concediendo a cadahabitante un lote cuadrangular de extensión uniforme”, para recaudar los impuestos en función de ese reparto. Si el Nilo se desbordaba, “el monarca enviaba a algunas personas a inspeccionar y medir la disminución que había sufrido el terreno para que, en lo sucesivo, pagara una parte proporcional al tributo impuesto” (Historia, II, 109). Según el historiador y viajero griego, fue por ese tipo de necesidades por lo que “se inventó la geometría” en Egipto, de donde luego pasó a Grecia.

En efecto, los egipcios utilizaron la geometría, el algebra o la aritmética, lo que nosotros llamamos matemáticas, como herramienta para resolver problemas prácticos. Medir las parcelas de cultivo, contabilizar el producto de las cosechas, los impuestos o las ofrendas a los templos, calcular la altura de una pirámide o la inclinación de la rampa necesaria para transportar sus sillares eran labores que requerían todo tipo de operaciones matemáticas, desde las más simples a las más complejas. Los escribas que trabajaban en la administración del estado se enfrentaban diariamente a estas tareas, y por ella desarrollaron una notable capacidad matemática, como evidencian los numerosos manuscritos con ejercicios de cálculo que se han conservado.

Un sistema para contar

A finales del IV milenio a.C., los egipcios disponían ya de un sistema de numeración: en muchos casos, las más antiguas muestras de escritura jeroglífica están asociadas a series numéricas anotadas en etiquetas que antaño estaban unidas a un recipiente, y que probablemente expresan las cantidades de un determinado producto contenido en el envase. Tal es el caso, por ejemplo, de las pequeñas etiquetas halladas en la tumba Uj de Abydos, o las que han aparecido en la tumba de la reina Neithotep en Nagada (de principios de la dinastía I). En estos registros se contabilizaban las cantidades ofrendadas al difunto o al dios en un templo, o se inventariaban los bienes de un santuario.

El sistema de numeración que desarrollaron los egipcios es decimal, de modo que en la escritura jeroglífica hay un signo diferente para representar cada uno de los múltiplos de diez.

Escribir un número en egipcio jeroglífico es muy sencillo, pues sólo hay que ordenar los signos de mayor a menor. Sin embargo acarreaba algunas dificultades, aunque los egipcios sólo emplearan siete signos jeroglíficos para plasmar cualquier número por escrito, esta aparente simplicidad esconde un problema evidente: cada signo puede repetirse nueve veces. Así, si querían escribir un nueve debían repetir nueve veces el signo de la unidad, y si querían escribir un 90 debían escribir nueve veces el signo de la decena. Imaginemos un caso extremo, el número 999.999; lo que nosotros escribimos con solo seis dígitos, los egipcios lo hacían con 54 signos. Se convierte, así, en un sistema ciertamente engorroso. Sin embargo, en la escritura hierática, más propia de la administración, este problema se resolvía parcialmente gracias a la aparición de signos numéricos especiales, más cursivos y abreviados.

Cómo medían los egipcios

Para la vida cotidiana también era indispensable contar con un conjunto uniforme de medidas de longitud, peso y volumen, universalmente reconocidas. Entre las medidas de longitud, la básica es el codo real (meh nisut), de 52,3 centímetros, dividido en 7 puños (shesep), divididos a su vez en 4 dedos (djeba). Estas unidades eran útiles para medir objetos de tamaño reducido, edificios e incluso la altura alcanzada por la inundación del Nilo, como podemos ver indicado en la Piedra de Palermo, un documento grabado en basalto que también contiene una lista de los reyes desde el Predinástico hasta la dinastía V, censos de ganado y ceremonias religiosas. Para abarca espacios más considerables, como grandes parcelas agrícolas, disponían del khet, equivalente a 100 codos, o el iteru, que correspondía a 20.000 codos reales, es decir unos 10,5 kilómetros. En un registro que rodea la capilla Blanca de Sesostris I en Karnak se numeran todas las provincias (los llamados nomos) que constituían el Egipto de aquella época (dieciséis en el Bajo Egipto y veintidós en el Alto Egipto), dando además, la valiosa información de la longitud del Nilo que recorría cada una de ellas. Gracias a ello conocemos con muy buena aproximación las divisiones administrativas del Egipto de hace casi cuatro mil años. Para medir áreas o superficies se usaban medidas como el codo de tierra (meh-ta), de 100 codos cuadrados (27,5 m cuadrados); el setjat o arura, equivalente a 10.000 codos cuadrados (2.756 m cuadrados); o el kha-ta, correspondiente a diez aruras.

Los egipcios tenía diversas medidas de capacidad: el heqat, equivalente a 4,5 litros; el khar o saco, equivalente a 16 heqat; el oipe, de 18,2 litros; y el hin o jarra décima parte del heqat.

Entre las medidas de peso, una de las más comunes fue el deben, equivalente a 91 gramos. Su décima parte era el kite. En los almacenes y tesoros se pesaban el metal y demás piezas en balanzas calibradas en deben, que solían tener forma de ternero o cabeza de vaca.

Extracto de “Matemáticas en Egipto” de José Lull. HISTORIA. National Geographic. Número 93.