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Tomo como punto de partida de esta segunda parte dedicada a Thales, la introducción que Wikipedia da en su biografía

Tales de Mileto (en griego Θαλῆς ὁ Μιλήσιος) (ca. 630 – 545 a. C. ) fue el iniciador de la indagación racional sobre el universo. Se le considera el primer filósofo de la historia de la filosofía occidental, y fue el fundador de la escuela jónica de filosofía, según el testimonio de Aristóteles. Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (el sabio astrónomo), y habría tenido, según una tradición antigua no muy segura, como discípulo y protegido a Pitágoras. Fue además uno de los más grandes matemáticos de su época, centrándose sus principales aportaciones en los fundamentos de la geometría.

En los breves apuntes biográficos dados en la Parte I, dedicada al sabio milenio, hice hincapié en los viajes que Thales realizó principalmente a la Mesopotamia, donde conoció la Astrología Babilónica y también sus Matemáticas (esto tiende a obviarse dado el gran desarrollo de las ciencias celeste de aquel pueblo) y sobre todo a Egipto. De Egipto, de su agricultura más concretamente,  provienen casi todos los hecho geométricos atribuidos a Thales, nadie duda esto actualmente, lo que también se asume hoy en día es que fue Thales, y ese es uno de sus grandes méritos, quién transfirió la Geometría de Ciencia Descriptiva a Ciencia Exacta, abriendo así el camino, a mi modo de ver, a la mayor aportación en el campo intelectual que el humano ha realizado, la Geometría Griega o Helenística para incluir períodos posteriores de la Grecia Clásica como el romano.

Al intentar analizar las aportaciones al campo geométrico de Thales la primera entrada que encontramos es su famoso teorema. ‘El Teorema de Thales’ ha elevado a categoría de inmortal a nuestro personaje, pocos matemáticos, quizás Pitágoras o Arquímedes, pueden competir en popularidad con él (su teorema estudiado desde las más tempranas edades escolares, aunque difícilmente recordado, evoca el nombre del autor pasados los años de aprendizaje).

Resulta sorprendente para los que son capaces de recordar el enunciado de las paralelas cortadas por secantes o viceversa encontrarse con el enunciado siguiente del ahumado resultado:

Se atribuye a Tales el haber transportado desde Egipto a Grecia múltiples conocimientos y herramientas elementales de geometría. Aunque no es históricamente seguro, se acepta generalmente como su principal aporte el haber sostenido ya en su época lo que expresa un teorema que lleva su nombre, es decir, que un triángulo que tiene por lado el diámetro de la circunferencia que lo circunscribe es un triángulo rectángulo.

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Imagen tomada de aquí

Y es cierto, el enunciado anterior también es conocido como el Teorema de Thales, de hecho hay dos teoremas así denominados y atribuidos al mismo autor. Pero aún hay más, la versión de las paralelas, cortadas… no constituye en sí el, primer Teorema de Thales (el ordinal es una manera de poder referirme a ellos), sí una consecuencia que se demuestra equivalente al enunciado original y que puede ser expresado así:

“Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.”

Estaremos de acuerdo que esta versión es más agradable y menos engorrosa que las proporcionalidad establecidas entre segmentos correspondientes en un sistema de paralelas cortados por dos secantes.

Básicamente la versión triangular del teorema nos indica como construir un triángulo semejante a otro dado, por lo tanto parte de la noción de semejanza que posiblemente Thales bien conociera de los agrimensores egipcios y a la que le sacó un gran rendimiento estableciendo, como consecuencia, ‘la constancia’ de los lado de los triángulos como luego veremos en la medición de las pirámides.

La segunda versión, la de los triángulos inscritos en una circunferencia y con un lado sobre el diámetro es muy útil a la hora de construir triángulos rectángulos, método muy usado en aquellos tiempos junto a la cuerda anudada dividida en doce partes iguales y otros.

De cualquiera de las maneras el éxito de Thales no está en su uso, cosa que se hacía antes que él, si no en su establecimiento como resultado esencial de la geometría, enunciándolo y refutándolo.

Con estos miembros se hundió la leyenda, cierta o no poco nos importa, que Plutarco relató sobre la medición de las alturas de las pirámides de Guiza, Keops, Kefrén y Micerinos, en Egipto.

¿Cómo midió Thales dichas pirámides?

Para responder la pregunta intentaré separar conceptos que, desde mi perspectiva, no separamos (estoy hablando ahora en clave profesor de secundaria) al trabajar con el teorema en el aula. Partimos de dos elementos, la noción de semejanza (igualdad de ángulos y proporción en los lados) y el enunciado del primer teorema, que nos garantiza la construcción de un triángulo semejante a uno dado.

Si nos encontramos al aire libre y clavamos, perpendicularmente al suelo un par de estacas de diferentes alturas del modo que se representa en la figura, fácilmente observamos que los dos triángulos que aparecen se encuentran en las hipótesis del teorema de Thales por lo tanto nuestros triángulos son semejantes. Pero ¿podemos establecer que A/B sea igual a D/C? la respuesta es sí, pero ni mucho menos es algo inmediato, un corolario de nuestro teorema así nos lo garantiza pero esa no es la tesis del teorema en sí. Es decir, el hecho de construir un segundo triángulo a partir de otro dado trazando una paralela a un lado me garantiza la semejanza de los dos triángulos ( o sea si comparo ‘lados correspondientes’ obtendré la misma razón) pero no tengo, a priori (eso sí se prueba luego), garantizada que se mantenga constante el cociente entre los lados de un mismo triángulo.

El mantenimiento de estos cocientes, en la figura A/B = D/C, queda establecida por Thales como consecuencia del teorema y en él se apoya el genial matemático para medir las pirámides.

Plutarco se hace eco de una leyenda que decía que Tales de Mileto en uno de sus viajes a Egipto, visitó la necrópolis de la meseta de Guiza  y sus famosas pirámides erigidas en honor a sus faraones, construidas varios siglos antes.

Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.

Como en triángulos semejantes, se cumple que A/B = D/C , por lo tanto la altura de la pirámide es D = (A·C)/B , con lo cual resolvió el problema.

Entrada en Wikipedia

Thales trabajó y perfeccionó estos sistemas indirectos de medición y los fue aplicando con distintos fines, entre ellos a la navegación tan importante para las ciudades estado griegas.

Seguro que esta es la más conocida de las anécdotas atribuidas a Thales, pero su aportación a la geometría fue más allá, llegando a dominar las bases de lo que luego se denominaría Geometría Euclidea, como el hecho de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular. Pero por encina de los conocimientos concretos que poseyera lo esencial en él fue alcanzar unos niveles de complejidad y abstracción en su trabajo fuera del alcance  de los agrimensores egipcios. El establecimiento de sus teoremas supone el germen del concepto de demostración, poniendo las bases para la organización racional de la ciencia, posiblemente mucho de lo recogido, años más tarde, en Los Elementos por Euclides provenga de él. En definitiva  Thales dio el salto definitivo de la descripción a la formalización, el salto que condujo a la creación de la Geometría, sobre cuyos hombros descansó la ciencia hasta bien entrado el siglo XIX.

Referencias

Tales de Mileto-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Teorema de Tales-Wikipedia, la enciclopedia libre.

Carnaval de Matemáticas (y 4): El teorema de Thales y su historia aderezados por Les Luthiers

Serie de Biografías Universales. Thales de Mileto. Encyclopedia Chanel vía Youtube.

El Legado de Pitágoras. Canal Historia.

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De estas cosa que pasan, “Bimatecheando” la red, en busca de una imagen del libro ‘La Estadística en Cómic‘ de Gonik y Smith, para agregar a ‘Mi Estantería’, ¡qué pereza me da escanear!, voy y me encuentro con esta joya, en formato digital y libre para descargar, que con motivo del Año Mundial de las Matemáticas, año 2000, editaba la Vicepresidència i Conselleria d’Economia, Comerç i Indústria, del Govern De Les Illes Balears.

Un no le dediqué el tiempo que requiere, pero tiene la mejor de las pintas. Nueve capítulos, cada uno de ellos dedicado a  un Estadístico, en ellos tras una breve introducción histórica, se trabajan los conceptos básico de la disciplina, de una manera original, motivadora y por supuesto más que accesible. El hilo conductor del libro recae en unos maravillosos personajes, “55”, “Acertijo”, “Binomio”, “Azarita”, “Gauss”, “Gráfica” y, por supuesto, como se dice ‘El Súper’ “… El personaje más importante de este cómic: ¡TU!”

Para Descargar el Libro Completo: Aquí

Dicen que murió a una edad avanzada mientras contemplaba unos juegos gimnásticos, afligido por el calor y la sed y por la debilidad de los muchos años. Diogénes Laercio recoge en sus “Vidas de los más ilustres filósofos griegos” los siguientes versos:

Las gimnásticas luchas observando
atento en el estadio el sabio Thales,
arrebatóle Júpiter Eleo.
Bien hizo en acercarle a las estrellas,
cuando por la vejez ya no podía
las estrellas mirar desde la tierra.

Realmente tuvo que ser alguien excepcional, vivió a caballo entre los siglos séptimo y sexto antes de nuestra era, ¿fenicio?, ¿milesio?, poco importa, pues la historia lo recordará como el de Mileto. De “Los Siete” fue el primero en obtener el tratamiento de “Sabio”. Matemático, ingeniero, astrólogo, filósofo, político y sobre todo hombre práctico, modelo de “Sabio Distraído”, pero su grandeza radica “más que en sus logros concretos, teorías o afirmaciones sobre el mundo, en la manera en que trató de comprenderlo” [1]. Así lo más relevante en Thales es la apelación a la razón, al argumento, a la experimentación frente al mito y la tradición. El salto al vacío del Mitos al Logos.

Vista de las ruinas de Mileto, en la costa occidental (Costa Egéa) de Anatolia, actual Turquía

El historiador griego Diógenes Laercio comenta sobre su nacimiento y muerte:

Dice Apolodoro en sus Crónicas que Thales nació el año primero de la Olimpíada XXXV y murió el setenta y ocho de su edad, o bien el noventa, habiendo fallecido en la Olimpíada LVIII, como escribe Sosícrates. Vivió en los tiempos de Creso, a quien prometió le haría pasar el río Halis sin puente, esto es, dirigiendo las aguas por otro álveo.

Actualmente la historiografía fija el nacimiento de Thales alrededor del 624 a.C. y su muerte entorno al 547 a.C. en Mileto, hijo de Examio y Cleobulina, ambos de Mileto y de familia distinguida, no podría ser de otra manera. Existe otra variante dada por Diógenes, en el siglo tercero de nuestra era, que lo hace llegar a Mileto tras ser expulsado de Fenicia.

Viajó y viajó mucho, su posición lo permitía, tuvo acceso a la astrología babilónica, a la matemática práctica de los egipcios y aprendió de la política griega las artes retóricas. Esta formación le permitió dedicarse a la ingeniería y al asesoramiento de políticos y comerciantes jonios y lidios, pues no solo destacó por su capacidad de consejo si no también por su habilidad para las finanzas (archiconocida fue su operación de compra, en invierno, y posterior alquiler, a finales de verano, de todas las prensas de aceite de Mileto ante la previsión conjeturada sobre una más que benevolente cosecha de aceitunas). Por otro lado la privilegiada situación económica de su familia, en un principio, y los réditos obtenidos de sus negocios posteriormente facilitaron su dedicación al estudio y la filosofía, a crear una escuela en su torno y levantar los ojos al cielo y observar las estrellas.

Después de los negocios públicos se dio a la especulación de la naturaleza. Según algunos, nada dejó escrito; pues la Astrología náutica que se le atribuye dicen es de Foco Samio. (Calímaco le hace inventor de la Osa menor, diciendo en sus yambos:

Del Carro fue inventor, cuyas estrellas
dan rumbo a los fenicios navegantes.)

Diogénes Laercio “Vidas de los más ilustres filósofos griegos”

Dejara documento escrito o no, poco importa, Thales consiguió la eternidad gracias a, su trabajo por supuesto, pero sobre todo a la difusión que otros muchos de él dieron, ya desde muy antiguo, Heródoto, Platón, Aristóteles, el poeta Calímaco, Sosícrates, Diógenes Laercio, Proclo…

Como astrólogo, además de “su” supuesta ‘Astrología Naútica’ alcanzó reconocido prestigio por predicir a los jónicos el año en que sucedería un eclipse solar (quizá llevada a cabo gracias al sistema babilónico), hacia el año 585 a. C., el 25 de mayo, para ser más exactos. El acontecimiento fue magnificado y puesto en relación en la guerra entre medos y lidios dotando al hecho y a su agorero de tintes épicos.

Corría el año 590 a.C. los medos avanzaban hacia el oeste del Asia Menor, allí chocaron con los lidios de Anatolia. Desde entonces, se desarrolló una guerra sin cuartel entre la potencia meda, victoriosa frente a los asirios y babilonios, y los lidios, convertdos en el último obstáculo hacia occidente y el Egeo. Llegamos a ese día del año 585 a.C. Heródoto de Halicarnaso relata lo acontecido el día del eclipse y el transtorno que ocasionó la observación de este fenómeno astronómico:

“Tuvo lugar una guerra entre los lidios y los medos durante cinco años, en los que muchas veces los medos vencieron a los lidios y muchas los lidios a los medos. Dentro de ella incluso llevaron a cabo una batalla de noche: a ellos, que proseguían en condiciones de igualdad la guerra, en el sexto año, iniciado el combate, les aconteció que, trabada la batalla, el día de repente se hizo noche. Thales de Mileto había predicho a los jonios que sucedería esta mutación del día, habiendo propuesto como término el año ese en el que ciertamente tuvo lugar el cambio. Y los lidios y los medos, cuando vieron que se hacía de noche en lugar de día, pusieron fin a la batalla y de manera especial se apresuraron también ambos a que se hiciera la paz entre ellos. Y quienes los reconciliaron fueron estos: Siénesis, cilicio, y Labineto, babilonio. Éstos fueron los que se esforzaron por que se produjera la alianza entre ellos, e hicieron un intercambio matrimonial: en efecto, decidieron que Alyattes entregara a su hija Aryenis a Astiages, el hijo de Ciaxares; pues sin un lazo fuerte unos tratados firmes no pueden mantenerse. Y, en cuanto a los pactos, hacen esos pueblos lo que los helenos y, además de esto, una vez que se cortan los brazos a nivel de la piel, chupan mutuamente la sangre”

¿Realmente Thales disponía de herramientas para tal predicción? Difícilmente. Los ciclos de casi 19 años para eclipses de Luna eran bien conocidos en ese tiempo pero los de Sol era más difícil de calcular ya que estos eran visibles en diferentes puntos de la Tierra y así carecían de todos los datos. Se pueden barajar algunas posibilidades, una podría ser que Thales conjeturara alguna fecha, ni mucho menos con tal precisión, basada en datos de los babilonios, aunque se hace un poco difícil, otra, la más ajustada a la realidad, a mi modo de ver es la recogida en su Biografía de ‘Dictionary of Scientific Biography ‘

… una explicación más plausible parece ser simplemente que Tales resultó ser el erudito que estaba por allí en aquella época en el momento en que este fenómeno astronómico tuvo lugar y la suposición fue que como erudito él fue capaz de predecirlo.

Lo que no se puede dudar es de su dedicación y pasión por las ciencias celestes. Levantar la vista en las noches claras fue un placer que Thales heredó de la vieja cultura babilonia, esta afición del milesio se encuentra recogida por todos los autores que de él han escrito, asignándole incluso “la invención del carro”. La importancia de la Osa Menor no es baladí, de entre todas sus siete estrellas destaca Polaris, la Estrella del Norte, La Estrella Polar, aquella que situada en la prolongación de los ejes de la Tierra, permanece fija en los cielos apuntando al Norte Geográfico, guía de los navegantes incluso en los albores del siglo XXI.

Su fama de “Sabio Distraído” puede fundamentarse en una anécdota que, Diógenes Laercio, refiere, citando a Platón de él. Y es que al caer Thales en un pozo después de ser llevado por una vieja mujer a ver las estrellas, ésta replicó a ser solicitada su ayuda: ¨¿Cómo pretendes, Thales, saber acerca de los cielos, cuando no ves lo que está debajo de tus pies?¨ La anécdota procede de Platón, que la incluye en el Teeteto para expresar una idea parecida a la de Aristóteles: el filósofo se preocupa más de la filosofía y de la naturaleza en general que de lo inmediato.

[1] Cuadernos de Filosofía. ‘Los modelos de la explicación racional en los Presocráticos’

[2] ‘Biografía de Tales de Mileto’, J J O’Connor y E F Robertson

[3] ‘Tales de Mileto’ Wikipedia

[4] ‘El Mundo de Sofía’ Jostein Gaarder

[5] ‘Tales de Mileto. Filosofía Zacatecas’  Nobody can eat fifty eggs de Iván Vladimir Reyna Guzmán

[6] ‘Tales de Mileto’ Apuntes de Historia de las Matemáticas. Departamento de Matemáticas. Universidad de Sonora.

‘El Hombre y el Número’

Publicado: 25 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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Desde el Antiguo Egipto, bastante antes que en China, el número ha fascinado a los que piensan. Al principio eran los números enteros, la medida de las cantidades simples, de las distancias, de la edad y del tiempo que pasa, y el registro de las estrellas del cielo. Pero bien pronto hicieron su aparición los turbadores números irracionales.

En la Grecia del siglo VI, la escuela pitagórica basaba su reflexión sobre los números en un nuevo simbolismo que explicaba, como en China, todo el Universo, pasando por la música y la estructura de la constelaciones. Un siglo más tarde, con Sócrates, enemigo irreductible del pensamiento mágico, nacía la corriente racional propiamente dicha, primer milagro que conduciría, dos siglos más tarde, al desarrollo de la Escuela de Alejandría, con Euclides, Arquímedes y hasta Diofanto.

Compás de espera. Durante siete siglos, las matemáticas occidentales permanecen estancadas. Los sabios siguen pegados al engrudo de las cifras romanas y de la exégesis.

Un segundo milagro tendrá lugar a finales del siglo XI, en el sur de Europa, los jerarcas de la Iglesia traducen los tratados árabes inspirados en la tradición india. Siguen Fibonacci y Pacioli; más tarde, la explosión conceptual del Renacimiento, seguida de Kepler, descartes, Fermat, Leibnitz, Newton…

A pesar de los reproches de Descartes, e incluso en él mismo, el pensamiento racional y el pensamiento mágico permanecen mezclados, pero el primero progresa tan rápidamente, su deseo de vivir es tan intenso, su eficacia es tan clamorosa, que, en el siglo XVIII, termina por invadir todo el ámbito de la reflexión.

En el siglo siguiente, Galois descubre (¿o inventa?) el concepto de grupo y Cantor la teoría de conjuntos. El zoo de los números y de las teorías se enriquece de manera exponencial.

Otro siglo y he aquí la informática, que trastorna las condiciones y las posibilidades de cálculo.

Los ámbitos de exploración matemática continúan diversificándose y haciéndose más complejos, hasta el punto de que ya no basta con ser un matemático profesional para comprender lo que se está haciendo en los múltiples sectores de su disciplina.

El número, además, es explotado por las administraciones y las empresas para afirmar su poder, y, en el mismo seno de la comunidad de los matemáticos, continúa suscitando interrogantes, los mismos que ya se formulaban los filósofos griegos.

¿Podría ser que el número fuese una realidad en cierta manera superior, que no sólo preexistiría a la escritura, sino también al hombre e incluso a los elementos?

Las Ecuaciones de Al-Khowarizmi

Publicado: 13 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala, Viñetas
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En el año 570, los desiertos de la eterna Arabia vieron nacer al Profeta. Mahoma vino al mundo en la ciudad de La Meca. Sobre el 610, con 40 años comenzó su predicación. En 622 tuvo que huir a Medina, ésta huída, La Hégira, marcó el comienzo de la era Musulmana. En 629 entra triunfal en su cidad natal y la hizo capital de toda Arabia. En el año 632, preparando la invasión del Imperio Bizantino, murió a causa de unas fiebres. Un siglo después, impulsados por la Jihad,  los árabes tienen el control del Imperio Bizantino, Egipto, Siria, Persia, la India,… En 755 el estado islámico se escinde en dos partes, el reino occidental con capital en Córdoba y el oriental con capital en Bagdad.

Los árabes en un principio no estaban muy interesados en asuntos intelectuales, poco a poco comienzan a interesarse por la cultura y se muestran cada vez más ávidos de conocimientos. En los comienzos, del 650 al 750, atraen sabios hasta Bagdad y hacia el siglo VIII comienzan a traducir los textos griegos, traducen los ‘Elementos’ de Euclídes de los bizantinos, a Ptolomeo ya en siglo IX, a Apolonio, Arquímedes, Herón… Hasta Bagdad, también, llegan mercaderes de oriente, con su nuevo sistema de numeración y rápidamente asimilan la nueva aritmética india, con alguna modificación, por ejemplo no admitieron los números negativos que los hindúes sí usaban. Los sabios traen sus trabajos científicos, tratados de geometría y astronomía, tratados que se suman a los datos proporcionados por los astrónomos persas y dan lugar al florecimiento de la cartografía. En definitiva, jamás, en el transcurso de un siglo, había recibido la cultura tan fuerte impulso como el obtenido entre los años 800 y 900, cuando oriente y occidente se encontraron en Bagdad. Los conquistadores árabes no solo estaban ávidos de asimilar la antigua civilización de los países ocupados sino que además, en sus textos sagrados, invitaban al estudio:

AL QUE CAMINA A LA BÚSQUEDA DE LA CIENCIA, LO ACOMPAÑA DIOS POR EL CAMINO DEL PARAÍSO

Una de las figuras de la Matemática árabe es Al-Khowarizmi. Geógrafo, astrónomo y matemático que trabajó en la Biblioteca del Califa en siglo IX. A él se le debe una Aritmética que difundía las cifras hindúes, el cero y las reglas de las cuatro operaciones. Pero su mayor aportación llegaría en el 830, ‘Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr w’al-muqäbala’ (Libro conciso de cálculo de restauración y simplificación), primer tratado de álgebra que bebía de la tradición india, babilónica y griega. De esta obra proviene la palabra Álgebra, “al-jabr”, cuyo significado es “restauración” entendida como la restauración del equilibrio mediante la transposición de términos de una ecuación. Por otro lado “w’al-muqäbala” significa la “simplificación” de la expresión mediante la cancelación de términos semejantes  de cada lado de la ecuación.

Así x – 7 = 3, por “al-jabr” pasaría a ser x = 3 + 7  y por “w’al-muqäbala” quedaría como x = 10.

Al-Khowarizmi formula las soluciones a modo de recetario basado en el método de completar de cuadrados. Estas recetas están dadas sobre ejemplos concretos y vienen justificadas a través de razonamientos geométricos. La matemática del siglo IX estaba muy lejos de la formalización actual, el uso de letras para designar valores desconocidos no llegaría hasta el siglo XVII con los trabajos de Vieta o Descartes; el matemático persa, haciendo uso de lenguaje ordinario,  define las especies de números con las que va a calcular. Así, en la introducción de su obra, tras indicar que el libro lo escribe por encargo del califa al-Ma’mūn, dice que quiere exponer:

… lo que las gentes necesitan en sus herencias, legados, repartos, arbitrajes, comercios […] medida de tierras, perforación de canales, medición y otras cosas que dependen del cálculo.

Y a continuación presenta las especies de números como las formas  que adoptan los números que se necesitan en el cálculo:

He encontrado que los números que se necesitan en el cálculo de aljabr y al-muqābala son de tres especies, que son: raíces, tesoros y
números simples no relacionados con raíz ni con tesoro. La raíz
(jidr) es cualquier cosa que se multiplica por sí misma, como la unidad, o los números, que le son superiores, o las fracciones, que le son inferiores. El tesoro (māl) es todo lo que resulta de la raíz multiplicada por sí misma. El número simple (cadad mufrad) es todo lo que, entre los números, es expresable y que no se relaciona con raíz
ni con tesoro.

Al estudio de las soluciones de la ecuación cuadrática, Al-Khowarizmi dedicó los primeros capítulos de su tratado. Distinguió cinco casos, seis si añadimos la ecuación de primer grado, con estos casos  recorre todas las posibilidades de ecuaciones de primer y segundo grado con soluciones positivas, recordemos que la aritmética árabe no contemplaba los números negativos. Estos casos son los siguientes:

  • Tesoro igual a raíces:  ax=  bx 
  • Tesoro igual a números: ax=  c
  • Raíces igual a números: bx = c
  • Tesoro y raíces igual a números: ax + bx = c
  • Tesoro y números igual a raíces: ax + c = bx
  • Tesoro igual a raíces y números: ax= bx+ c

Al-Khowarizmi inicia, con ésta obra, El Proyecto Algebraico, el Problema Problematum al que se refiera Vieta en su ‘Introducción al arte analítica’, al señalar el más fastuoso de los problemas, el ‘No dejar ningún problema sin resolver’.

El esquema que mantiene Al-Khowarizmi al enfrentarse a la resolución de las cuadráticas, es sencillo, parte de una situación particular la cual resuelve mediante unas órdenes sencillas, para luego dar una demostración (justificación tal vez sea más ajustado) geométrica del por qué de las indicaciones, las cuáles extrapola para resolver las situaciones que encajen en el mismo caso.
A modo de ejemplo, y con lenguaje actual, resolvamos una de las ecuaciones propuestas por Al-Khowarizmi, por ejemplo,  x + 10x = 39, perteneciente al cuarto supuesto. Primero enunciaremos los pasos a dar para su resolución numérica y después añadiremos la justificación geométrica basada en la completación por cuadrados. Al-Khowarizmi nos da las siguiente indicaciones para nuestra ecuación:

Debes tomar la mitad del número de raíces, esto es cinco, y multiplicarlo por sí mismo y obtienes 25, al que le sumas el número 39, con resultado de 64. Tomas la raíz cuadrada de este número que es 8 y le restas la mitad de las raíces y obtienes 3, que es el valor buscado.

Sencillo. Con cinco instrucciones claras, Al-Khowarizmi, resuelve este tipo de ecuaciones. Pero no se contenta con describir el proceso, cosa a que ha muchos hubiera bastado, como dijimos anteriormente añade una justificación de tipo geométrico que bien pudiera ser la que sigue:
En primer lugar identifica  x2 con un cuadrado, de lado x,  al une un rectángulo de altura x y base 10, esta figura tendrá un área total de 39 unidades, ya que:  x + 10x = 39. 
Seguidamente divide el rectángulo en dos rectángulos de base 5 cada uno y de igual altura,  x, que el rectángulo inicial. Colocándolos en dos lados consecutivos del cuadrado. Esta nueva figura, distinta de la inicial, mantiene la misma área que la primera. Tendríamos algo así:
La construcción se completa ” encajando” un cuadrado de lado 5 entre los dos rectángulos, simplemente prolongando sus lados menores.
De este modo, tenemos un cuadrado de lado x+5, donde se distinguen dos regiones de superficie conocida, a saber, la zona sombreada de área 25, y la que no lo está cuya área es 39, por tanto el área del cuadrado de lado x+5 es 25+39 = 64, así nuestro cuadrado (el mayor) tendrá de lado 8 = x + 5, de donde x = 3. que es la solución positiva de nuestra ecuación inicial. Es interesante notar que Al-Khowarizmi sabía de la existencia de la otra solución, – 7, pero sencillamente no la contemplaba por el hecho de ser negativa.

De un modo similar a éste se van resolviendo todos y cada uno de los casos contemplados por Al-Khowarizmi. Para terminar os dejo una captura de un par de páginas del libro ‘Historia de lasMatemáticas’ de Ediciones Proyecto Sur, en las que, en formato cómic, describe una justificación geométrica distinta, pero totalmente equivalente, para resolver este mismo tipo de ecuaciones.

 

Referencias:

‘Resolución de ecuaciones según al-Khowarizmi” de Carlos O. Suárez Alemán.

‘Historias de Al-Khowarizmi (4ª entrega). El proyecto algebraico.’ Luis Puig. SUMA65.

‘Historia de las Matemáticas’ Ediciones Proyecto Sur.

Monsieur Évariste Galois

Publicado: 1 febrero, 2012 de Pepe E. Carretero en Historia, Mundo Matemático, Tusitala
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Estos garabatos (hacer clic en imagen para ampliar) se parecen mucho a los que hacen nuestros alumnos mientras estamos explicando en clase. Pero si nos fijamos bien, existe una diferencia. Entre tachón y tachón podemos diferencias fórmulas matemáticas. Y es que este papel emborronado corresponde aEvariste Galois uno de los matemáticos más importantes de Francia y de la historia.

Galois murió en un duelo por la disputa de una mujer. Estaba tan convencido de lo inmediato de su muerte que pasó toda la noche escribiendo cartas a sus amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático. En estos últimos papeles describió someramente las implicaciones del trabajo que había desarrollado en detalle.

El 30 de mayo de 1832, a primera hora de la mañana, Galois recibió un disparo en el abdomen, falleciendo al día siguiente a las diez de la mañana (probablemente de peritonitis) en el hospital de Cochin, después de rehusar los servicios de un sacerdote.

Sus artículos nunca llegaron a ser publicados en vida de Galois. Sus contribuciones matemáticas fueron publicadas finalmente en 1843 cuando Joseph Liouville revisó sus manuscritos y declaró que aquel joven en verdad había resuelto el problema de Abel por otros medios que suponían una verdadera revolución en la teoría de las matemáticas empleadas. El manuscrito fue publicado en el número de octubre de 1846 del Journal des mathématiques pures et appliquées.

Otro genio que muere joven, con 21 años.

Así presenta Lorenzo Hernández, en su Blog “Ciencia Online” las Notas de Galois.

 

Ayer martes, terminamos las ecuaciones en tercer curso de ESO. Hablo mucho, cuento batallas, casi todas con con algún fin, que no viene al cuento detallar. Terminada la pequeña incursión en la resolución de ecuaciones de grado superior no me resistí a presentar a Évariste Galois, sí también a Cardano (al que han terminado conociendo más de lo que yo he esperado) o al ‘Tartamudo’ Tartaglia, Ferrari o Scipio del Ferro, pero Galois es mi debilidad. Les propuse una pequeña investigación. Conocer a Evaristo, conocer la Francia del XIX, el Romanticismo, ver las matemáticas a través de los ojos de un joven, inconformista, soñador y brillante. No sé si he conseguido trasmitir todo eso en el aula, es difícil, pero…

Deje pendiente publicar en el Blog algunas notas que dieran pie al trabajo. Así que allá van.

Primero un video. El montaje hecho sobre la vida de Galois según la película “3:19 Nada es casualidad”.

Segundo algunos enlaces, ya sabéis, Wikis, reseñas web,….

‘Évariste Galois, un matemático que vivió rápido y murió joven’ Alojado en Cavobolo, echad un vistazo a los comentarios, merecen la pena.
‘Évariste Galois’ Reseña biográfica en Wikipedia, (¿murió en duelo de sables o de pistolas? )
‘Teoría de Galois’ Hemos hablado que nada de mates, solo Galois, aún os queda un trecho para llegar a su teoría, pero si queréis eschar un vistazo.
‘El Elegido de los Dioses: La Historia de Evaristo Galois’ Reseña del libro, con un comentario de un usuario más que interesante.

Y tercero y último, las actividades que con motivo del bicentenario de su nacimiento el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU desarrolla.

Año de Galois
El 25 de octubre de 2011 se han cumplido doscientos años del nacimiento del matemático francés Évariste Galois. Para conmemorar esta efemérides, el Departamento de Matemáticas de la UPV/EHU ha organizado un denominado Año de Galois, hasta el 25 de octubre de 2012, que consta de diversas actividades: conferencias, un seminario de alumnos, un seminario de investigación, y una escuela internacional avanzada sobre grupos de Galois, que será impartida por matemáticos del más alto nivel.

Título: EL CLUB DE LA HIPOTENUSA

Autor: Alsina, Claudi

Editorial: Ariel

Publicación: Barcelona (2010)
Materia: Matemática recreativa
ISBN: 9788434453852

Resumen: “Un paseo por la historia de las matemáticas a través de sus anécdotas más divertidas.- un libro y ameno que lo podrá leer de muchas formas.- El orden de las anécdotas sigue más o menos, un orden histórico, privilegiando los tiempos modernos, pero si prefiere leerlas por orden alfabético de personajes, puede usar el índice onomástico del final.”

230 páginas.

Cornudos y numerados

Para las acaloradas discusiones vis-a-vis (<<sal a la calle y lo arreglaremos>>) un retorcido lenguaje oral y unos puños bien adiestrados son suficientes. Para mandar insultos a distancia (por ejemplo, en adelantamientos imprudentes de coches), a falta de gritos, las personas irascibles (¡hay muchas por lo visto, en calles y carreteras!) recurren a gestos con las manos, destacando italianos y españoles en el empleo del insulto gestual. Pero la gama de gestos insultantes es limitada en coherencia con el número de neuronas de sus usuarios. A nadie le es desconocido que con los dedos meñique e índice extendidos y los dos de en medio flexionados se evoca la forma de cuernos de un animal y con ella se califica de <<cornuda>> a la persona que contempla la escena. Esta gesticulación que hoy ofende fue en su día de gran interés numérico. En la numeración mímica romana este gesto con la mano izquierda era <<4>> y con la derecha era <<400>>. Así pues, si hace este gesto a una persona ducha en historia de las matemáticas puede ocurrir que el interpelado no se ofenda.

El Club de la Hipotenusa, Claudi Alsina

Alan Turing

Publicado: 7 enero, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Tusitala
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Alan Mathison Turing nació el 23 de junio de 1912, este año se cumplirá el primer centenario de su nacimiento.

Alan Turing fue un genial matemático, entre otras cosas, inglés, pionero en las ciencias de la computación y alguien que contribuyó a avanzar el final de la IIWW descifrando los códigos alemanes mediante el uso de una máquina conocida como Bomba, ‘La Bomba de Turing’ que exploraba las combinaciones posibles generadas por la máquina codificadora alemana ‘Enigma’. Tal ‘Bomba’ fue una máquina de propósito especial, el de descifrar códigos, construida electromecánicamente con relés.

Incomprendida su homosexualidad por la sociedad de la época, incluso el propio Turing pensó que sus tendencias eran una enfermedad y aceptó un estúpido tratamiento médico. Su ‘muerte por ingestión de cianuro’ a la edad de 42 años no ha sido esclarecida del todo. Junto a su lecho de muerte apareció una manzana sólo un poco mordida.

El 10 de septiembre de 2009 el primer ministro del Reino Unido, Gordon Brown, emitió un comunicado declarando sus disculpas en nombre del gobierno por el trato que recibió Alan Turing durante sus últimos años de vida. Este comunicado fue consecuencia de una movilización pública solicitando al Gobierno que pidiera disculpas oficialmente por la persecución sufrida por Alan Turing. Wikipedia.

Hay un leyenda por la red que afirma que el logo de Apple, la manzana mordida, se debe a la manzana de Turing. Esto no es nada razonable, sería de muy mal gusto evocar a Turing por la manzana de cianuro que lo mató.

Cuando en 1976 nace Apple, Steve Jobs y  Steve Wozniak con la ayuda de Roland Wayne diseñaron un logo algo complejo con un hombre sentado debajo de un árbol y una manzana (tal vez haciendo referencia a Newton), pero luego se adoptó un logo  con solo la manzana-arco iris y más tarde la manzana de color brillante, por cierto antes de los logos fue el nombre de Apple lo que los ‘Steves’ decidieron.

“Historia de las Matemáticas” (en Cómic) por …

Publicado: 6 octubre, 2011 de Pepe E. Carretero en Historia, Libros
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2ª Edición de “HISTORIA de las MATEMÁTICAS”.

El interés del texto y la gracia de las imágenes permiten divulgar a un gran público la HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS, especialmente al alumnado de Matemáticas de cualquier edad, ya que la presentación es la de un cómic.

Autores: José Luis Carlavilla y Gabriel Fernández. Proyecto Sur Ediciones. I.S.B.N.: 84-8254-353-9. Formato: 17 x 24 cm. Páginas: 352.

Magos de las cifras

Publicado: 6 octubre, 2011 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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La pericia que adquirieron los egipcios en las matemáticas queda reflejada en una serie de papiros, conservados en diversos museos, que debían de ser cuadernos de ejercicios para estudiantes. Los problemas se solían presentar como un conjunto de operaciones para las que no se daba una solución desarrollada; probablemente, pues, los estudiantes contaban con las explicaciones de su maestro, transmitidas oralmente. Es posible también que los estudiantes memorizaran enunciados y soluciones, de modo que ante cuestiones similares, de modo que ante cuestiones similares no tuvieran más que cambiar datos.

El Papiro Anastasi I, versión de un texto original satírico de inicios de la dinastía XIX, ofrece ejemplos de lo que se consideraba que un buen escriba debía saber. Uno de los problemas que plantea es: “Te dicen que debes vaciar un almacen que está lleno de arena bajo el coloso de tu señor, que ha sido traído desde la cantera de Gebel Ahmar. Mide 30 codos de longitud por 20 de ancho. Su fundamento consiste en diez compartimentos llenos de arena de la orilla, mientras que las particiones de sus compartimentos tienen un ancho de 12 codos y una altura de 50 codos […]¿Cuántos hombres serán necesarios para vaciarlos en seis horas[…] para que el coloso se erija en su lugar?”.

En algunos de estos papiros matemáticos, los problemas planteados alcanzan un notable grado de complejidad. Así ocurre en el más complicado de ellos, el Papiro Rhind, de 5 metros de longitud, fechado en el año 33 del rey hicso Apofis (hacia el 1.550 a.C.), si bien es una copia de tres siglos anterior. Contiene 84 problemas que abarcan divisiones, multiplicaciones, sumas, operaciones con fracciones, raíces, cálculo de volúmenes, superficies, alturas, pendientes; todos ellos perfectamente ordenados en problemas de aritmética, álgebra y geometría. Destaca el método usado para calcular el área del círculo; en el problema 50, el valor de Π, logrado empíricamente, es de 3,16, es decir, mucho más próximo al valor real que al 3 que empleaban la mayoría de pueblos del Próximo Oriente antiguo.

En el Papiro de Moscú, algo más antiguo que el Papiro Rhind, destaca el problema número 10, que podría tratar del cálculo del área de una hemiesfera, muchos siglos antes que Arquímedes de Siracusa, matemático al que se atribuye el cálculo. Y el Papiro Berlín 6619 (del Imperio Medio), que contiene sólo dos problemas aritméticos, muestra las más antiguas versiones de lo que después conoceremos como teorema de Pitágoras y ecuación de segundo grado.