Posts etiquetados ‘Newton’

Leibniz vs Newton III (Dulce Final)

Publicado: 14 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Viñetas
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Leibniz vs Newton II

Publicado: 14 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Viñetas
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Leibniz vs Newton I

Publicado: 14 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático, Viñetas
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¿Qué es un número? Parte I

Publicado: 14 julio, 2012 de Pepe E. Carretero en Mundo Matemático
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La noción de número ha sufrido múltiples metamorfosis a lo largo de la historia, desde los primeros sistemas de contar de los sumerios hasta las últimas especies numéricas inventadas por los matemáticos. La vieja pregunta es ¿cabe definir un número?

Podemos afirmar que la noción abstracta de número emerge en Mesopotamia. Los sumerios disponían de anotaciones diferentes según que se tratara de objetos que se podían contar uno a uno, como cabeza de ganado, de medidas de volumen para los líquidos, para grano y así sucesivamente. Y luego a finales del III milenio, los escribas sumerios inventaron un sistema destinado aplicarse a cualquier cosa susceptible de ser contada, es aquí donde vemos formarse el concepto de número abstracto en la notación escrita, de alguna manera unificaron todas las notaciones existentes, y lo hicieron usando la base sesenta. ¿El motivo de esta base? Sabemos que sesenta venía de uno de los sistemas metrológicos anteriores, en el que los multiplicadores, para pasar de una unidad al grupo de la escala superior, eran alternativamente seis y diez, se procedió pues a una reagrupación. Los babilonios heredaron esta notación en base sesenta, que nosotros también hemos heredado en nuestro modo de contar las horas, los minutos y segundo.

Otra cuestión son los racionales, los babilonios, al igual que los egipcios, no conocían los racionales. es cierto que ambos pueblos disponían de ciertas formas de fracciones. Pero fracciones con denominador uno. Con su sistema de base sesenta, los babilonios escribían de la misma manera lo que hoy son las cifras posteriores a la coma. El clavo vertical que designava la unidad lo mismo podía designar sesenta unidades que una sesentava parte.

Las fracciones egipcias son lo que a veces se conoce como “cuantésimos”: ante un problema como el de repartir una ración entre varios obreros, cuando el resultado no es exacto, las partes fraccionarias se expresaban como combinaciones de fracciones de tipo un cuarto, un octavo, etc

Aunque hay quien afirma que hubo que esperar a la Grecia antigua para que aparecieran los racionales realmente esto tampoco es del todo cierto. Paralos matemáticos griegos los únicos números identificados como tales eran los enteros. Fue la escuela pitagórica, no sabemos exactamente en qué época, lo más tarde en el siglo V antes de nuestra era, la que descubrió realmente la irracionalidad de ciertas razones de magnitudes. En particular, la diagonal del cuadrado guarda una relación irracional con el lado, lo cual significa que este cociente no puede ser igual al de dos enteros. Pero ante el problema planteado los griegos no inventaron un nuevo tipo de números sino una teoría de las proporciones entre magnitudes geométricas completamente independiente de los números. es lo que se encuentra en el libro V de los ‘Elementos de Euclides’: una teoría que permite manejar proporciones entre magnitudes geométricas. Pero estas magnitudes nunca se consideraron como medidas por números. Por tanto no se puede decir que √2 existe en la matemática griega. Lo que existe son magnitudes geométricas, que no necesariamente son racionales. Pero no solo √2, en la matemática griega π tampoco tenía categoría de numero. En el libro XII de los ‘Elementos’ hay una proposición que dice que el área de un círculo es proporcional al cuadrado del radio. Se puede pues concebir, en el marco de la geometría griega, el cociente entre el área del círculo y el cuadrado del radio. Es lo que llamaríamos π. Pero este tipo de razón no se contempla como un objeto matemático. Se trata de una relación entre magnitudes. Aunque Arquímedes calculó una aproximación de π, todavía no había número π en la matemática griega.

Lo que es indudable es que en la Grecia clásica es donde surge la primera reflexión sobre la identidad del número. Aunque no sabemos cuándo ni cómo. el primer texto que poseemos, estos famosos ‘Elementos de Euclides’ datan del 300 antes de nuestra era, una fecha ya tardía respecto a la Grecia clásica. No conocemos con exactitud la génesis de las concepciones que allí se expresan. Euclides define un número como una multiplicidad de unidades, siendo la unidad un concepto primitivo no definido, que ya está ahí. Y en virtud de la teoría de las proporciones, la geometría goza de una cierta preeminencia sobre el resto de las matemáticas. Cuando Euclides trata la teoría de números en sus libros VII, VIII y XIX, representa los números por medio de segmentos, lo que le permite razonar sobre números no especificados, abstractos. Ni siquiera dice si se trata de dos o tres, lo que dice es: considero un número y lo designo por medio de un segmento. Y a estos segmentos les aplica razonamientos geométricos. es pues la geometría la que sirve a la teoría de números. La fusión entre los dos concepciones llegará muy tarde, hacia fines del siglo XVIII con gente como Newton y Leibnitz, al término de una larga maduración que tiene su origen en la práctica algebraica.

El álgebra fue fundada en el siglo IX por la matemáticos árabes, que introdujeron el concepto fundamental de ecuación. Ecuación en el sentido de expresión de un problema.

En la intención de sus fundadores, esencialmente Al-Khowarizmi, a comienzos del siglo IX, un cierto número de problemas matemáticos podían expresarse en forma canónica: lo que hoy llamaríamos ecuación de segundo grado. Estaba la incógnita, que Al-Khoarizmi llamaba la cosa, y luego el cuadrado de la incógnita, que llamaba en árabe, el bien, la riqueza (census en latín), porque este tipo de consideraciones las aplicaba sobre todo a problemas de repartos de herencia. Una ecuación era pues una relación que combinaba la incógnita, su cuadrado y un número. Se trataba de hallar la incógnita. Pero esta álgebra se utilizó también, desde el principio, para resolver problemas de tipo numérico en un contexto geométrico, para resolver problemas en los que la incógnita era una magnitud geométrica. Después de lo cual los matemáticos árabes desarrollaron un cálculo de polinomios, introdujeron otras potencias, el cubo, la cuarta potencia e incluso potencias negativas. Pero dependiendo del problema la incógnita podía ser una magnitud geométrica o un número. esto indujo una reacción en sentido contrario: los árabes se dieron cuenta de que podían tratar de un modo calculatorio las propias magnitudes geométricas. Reinterpretaron a la manera aritmética el libro X de los ‘Elementos de Euclides’, que presentaba toda una teoría sobre la clasificación de las magnitudes irracionales que se encuentran en las construcciones geométricas. Luego, a partir del siglo XII, los algebristas árabes efectuaron cálculo aproximados en notación decimal con cifras detrás de la coma, unos cálculos muy elaborados con raíces de cualquier orden. Pero todavía y hasta el siglo XVII o XVIII se consideraba que por un lado estaban los números y por otro la geometría. En el siglo XVII, Pascal escribió: “La geometría no puede definir los números, el movimiento y el espacio”.

Sin equívoco posible podemos decir que la matemática europea vivió hasta el siglo XVII sobre la teoría de las proporciones euclideas. Por lo demás, solo en esta época se adoptaron los números decimales con cifras después de la coma, que pasaron a ser de uso corriente en los cálculos astronómicos. También a principios del XVII se inventaron los logaritmos, lo cual indicaba ya una especie de concepción de un continuo numérico, pero aparecieron por razones prácticas antes de ser aceptados en el plano teórico por Newton y Leibniz quienes al fundar el cálculo diferencial e integral impusieron esta concepción del continuo numérico analizado por medio de números. Las razones que Euclides consideraba entre magnitudes geométricas se habían convertido por último en números.